\documentclass[a4paper,10pt]{book} \textwidth 11,8 cm \textheight 17 cm \def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} \def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{makeidx} \usepackage[pdftex]{hyperref} \title {Calcul formel \\et \\ Mathématiques\\ avec\\ la HP49G \\en mode algébrique} \author{Renée De Graeve\\ Ma\^itre de Conférence à Grenoble I} \date{} \makeindex \begin{document} \maketitle {\bf \centerline{Remerciements}} \vspace{1cm} Je remercie: \begin{itemize} \item Bernard Parisse pour ses précieux conseils et ses remarques sur ce texte, \item Sylvain Daud\'e pour sa relecture, \item Jean Tavenas pour l'int\'er\^et port\'e \`a l'ach\`evement de ce guide, \item les \'el\`eves de Terminale du lyc\'ee Notre-Dame des Victoires de Voiron, ainsi que leur professeur Jean Marc Paucod, pour leur participation au test du sujet de bac avec la HP49. \end{itemize} \vfill \copyright\ 09/1999 Ren\'ee De Graeve, \verb|degraeve@fourier.ujf-grenoble.fr|\\ La copie, la traduction et la redistribution de ce document sur support \'electronique ou papier sont autoris\'es pour un usage non commercial uniquement. L'utilisation de ce document \`a des fins commerciales est interdite sans l'accord \'ecrit du d\'etenteur du copyright. Cette documentation est fournie en l'\'etat, sans garantie d'aucune sorte. En aucun cas le d\'etenteur du copyright ne pourra \^etre tenu pour responsable de dommages r\'esultant de l'utilisation de ce document.\\ Son contenu ne saurait en aucun cas engager la responsabilité de la société Hewlett-Packard ni de ses distributeurs. Ce document est disponible à l'adresse Internet suivante :\\ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\tild parisse/hp49.pdf \newpage {\bf \centerline{Préface}} \vspace{1cm} On me pose parfois la question : pourquoi mettre du calcul formel dans une calculatrice, alors que les logiciels sp\'ecialis\'es sur ordinateur sont maintenant bon march\'e, voire gratuits?\\ Selon moi, la calculatrice est l'instrument le mieux adapt\'e \`a l'{\em int\'egration}\/ des outils de calcul dans l'enseignement des math\'ematiques puisque vous pouvez l'emporter facilement avec vous et l'utiliser pendant une s\'eance de travaux dirig\'es ou un cours.\\ Mais l'utilisation d'un logiciel de calcul formel n'est pas aussi simple que l'interface pourrait le laisser croire... Il est donc important de disposer de la documentation ad\'equate. Le manuel de la HP49G d\'ecrit assez bri\`evement le logiciel, aussi ce guide en est le compl\'ement indispensable: il pr\'esente la HP49G dans la perspective de quelqu'un qui souhaite faire des math\'ematiques. Le lecteur qui s'int\'eresse aux mathématiques peut tr\`es bien ne lire que ce texte puisque l'auteur commence par une pr\'esentation de la machine et d\'etaille ensuite les commandes de calcul formel class\'ees par th\`eme (l'index permet de retrouver les commandes par ordre alphab\'etique) puis la programmation en mode alg\'ebrique. Chaque commande est illustr\'ee par un exemple et certaines sont mises en pratique dans la r\'esolution d'un sujet de bac. La partie programmation comporte de nombreux programmes, en particulier d'arithm\'etique. En r\'esum\'e, ceci est le guide que j'aurais d\^u \'ecrire si j'en avais eu la patience! Je remercie Renée de l'avoir réalisé...\\ \\ Bernard Parisse\\ Ma\^itre de Conférences à l'Université de Grenoble I\\ Développeur du logiciel de calcul formel de la HP49G \chapter*{Pour commencer} \section{Présentation générale} \subsection{Mise en route} Appuyer sur la touche {\tt ON}.\\ En cours de travail, cette touche {\tt ON} permet de sortir d'une application : elle joue le r\^ole de EXIT ou de CANCEL.\\ Pour éteindre la calculatrice, taper {\tt shift-rouge} puis sur {\tt ON}.\\ Si malgré plusieurs {\tt ON} ({\tt CANCEL}), la calculatrice ne repond pas, appuyer simultanément sur {\tt ON} et {\tt F3} pour la réinitialiser. \subsection{Que voit-on?} De haut en bas :\\ 1. l'écran\\ 1.a l'état de la calculatrice \\ 1.b l'historique des calculs \\ 1.c un bandeau contenant des commandes\\ 2. le clavier\\ \noindent 1.L'écran :\\ 1.a L'état de la calculatrice décrit les modes mis en {\oe}uvre : \begin{itemize} \item {\tt RAD} ou {\tt DEG} selon que l'on travaille en radians ou en degrés. \item {\tt XYZ} pour indiquer que l'on travaille en coordonnées rectangulaires. \item {\tt HEX} pour indiquer que les entiers binaires précédés de {\tt \#} sont écrits en base 16. \item {\tt R} ou {\tt C} selon que l'on travaille en mode RÉEL ou en mode COMPLEXE. \item {\tt =} ou ${\tt \sim}$ selon que l'on travaille en mode EXACT (calcul formel) ou en mode APPROCHÉ (calcul numérique). \item {\tt 'X'} indique le nom de la variable courante contenu dans {\tt VX} : en général c'est {\tt 'X'} \item {\tt ALG} ou {\tt RPN} selon que l'on travaille en mode ALGÉBRIQUE ou en mode RPN. \item {\tt \{HOME\}} ou {\tt \{HOME ESSAI\}} pour indiquer le nom du répertoire dans lequel on se trouve (par exemple le répertoire principale HOME ou le sous répertoire ESSAI). \end{itemize} 1.b L'historique des calculs \\ Principe : sur l'écran, le calcul demandé (précédé de {\tt :}) s'inscrit à gauche et le résultat s'inscrit à droite.\\ 1.c Le bandeau :\\ Les commandes du bandeau sont accessibles par les touches :\\ {\tt F1 F2 F3 F4 F5 F6}.\\ Lorsque le bandeau comporte plus de 6 commandes, la suite du bandeau est visible lorsqu'on appuie sur la touche {\tt NXT}. Le bandeau peut contenir des répertoires (contenant un ensemble de commandes), ils sont repérables par leur forme de valise. Pour activer une commande du bandeau, il suffit de taper sur la touche {\tt Fi} correspondante. \\ 2. Le clavier :\\ Il faut repérer : \begin{itemize} \item la touche {\tt ON} pour la mise en route ou pour arr\^eter un calcul en cours . Pour éteindre la calculatrice, taper {\tt shift-rouge} puis sur {\tt ON}. \item les deux touches ''shift'', une bleue et une rouge qui permettent à une m\^eme touche d'avoir plusieurs fonctions. \item la touche {\tt ALPHA} pour taper du texte (en majuscules par défaut). Pour rester en mode de saisie alphabétique il faut appuyer deux fois sur la touche {\tt ALPHA}. Pour sortir de ce mode taper à nouveau sur la touche {\tt ALPHA}. Pour basculer entre l'écriture en majuscules ou en minuscules, taper sur {\tt shift-bleu} puis sur la touche {\tt ALPHA} (lorsqu'on est en mode de saisie alphabétique). \item la touche {\tt ENTER} qui sert à valider une commande. \item les quatres flèches (gauche, droite, haut, bas) qui permettent de déplacer le curseur lorsqu'on est dans l'éditeur ou dans un menu. \end{itemize} \section{Les différents modes} Cette calculatrice permet de travailler dans différents modes.\\ On peut choisir :\\ -le mode algébrique ou écriture polonaise inversée ({\tt ALG ou RPN})\\ -le mode réel ou le mode complexe (${\tt R}$ ou ${\tt C}$)\\ -le mode exact ou le mode approximatif (${\tt =}$ ou ${\tt \sim}$)\index{\tt = $\sim$}\\ -le mode direct ou le mode pas a pas...\\ {\sc Attention} : ce qui suit suppose que la calculatrice est dans le mode alg\'ebrique r\'eel exact direct ( ${\tt R\ =\ ALG}$).\\ Tapez : {\tt CASCFG}\index{CASCFG} (Computer Algebra System ConFiG) pour mettre la calculatrice en mode réel exact direct. Au cours de votre travail, il est conseillé de taper {\tt CASCFG} pour se remettre dans cette configuration (en effet la calculatrice change -en vous demandant l'autorisation- de mode quand c'est nécessaire!).\\ {\sc V\'erification}\\ V\'erifiez maintenant que la calculatrice est bien en mode alg\'ebrique r\'eel exact. Pour cela faire : touche {\tt MODE} puis v\'erifier que l'operating mode est bien {\tt algebraic} sinon choisir {\tt algebraic} \`a l'aide de {\tt choos} du bandeau ou taper sur la touche ${\tt ^+/_-}$. V\'erifier, pendant que vous \^etes dans {\tt MODE}, \`a l'aide de {\tt cas} du bandeau que ni {\tt numeric}, ni {\tt approx}, ni {\tt complex} ne sont coch\'es (sinon enlever la croix \`a l'aide de {\tt chk} du bandeau).\\ Remarque : pour des applications pédagogiques, il est souvent intéressant de cocher {\tt step/step} pour que la calculatrice fasse les calculs en pas à pas. Puis {\tt ok} du bandeau pour valider le choix fait dans {\tt cas} puis {\tt ok} du bandeau pour valider le choix fait dans {\tt MODE}. On est alors en mode alg\'ebrique r\'eel exact.\\ {\sc Attention :\\ ce qui suit suppose que la calculatrice est dans cet état}. Vous \^etes \`a nouveau dans le r\'epertoire {\tt HOME}. Il suffit maintenant de taper les calculs \`a effectuer par exemple : $1+1$ suivi de {\tt ENTER} Le r\'esultat s'affiche (\`a droite) alors que l'expression $1+1$ pr\'ecéd\'ee de ${\tt :}$ remonte dans l'historique (\`a gauche). On pourra ainsi recopier cette expression dans la ligne de commande en appuyant sur la touche {\tt HIST} (la fl\`eche vers le haut permet de s\'electionner l'expression et {\tt echo }du bandeau de la recopier et de la simplifier). On peut aussi utiliser le dernier r\'esultat (not\'e {\tt ANS(1)}) gr\^ace \`a la touche {\tt ANS (shift-bleu ENTER)} et aussi les r\'esultats pr\'ec\'edents (not\'es {\tt ANS(2)}...). Vous avez la possibilit\'e de faire soit des calculs exacts, soit des calculs approch\'es par exemple : $\sqrt 2$ suivi de {\tt ENTER} n'\'evalue pas $\sqrt 2$ et effectue des calculs exacts mais suivi de {\tt shift-rouge ENTER ($\rightarrow$NUM)} donne une approximation de $\sqrt 2$ avec 12 chiffres significatifs, tout en restant en mode exact. Bien s\^ur, si vous ne voulez faire que du calcul num\'erique il suffit de cocher {\tt approx} ({\tt MODE } puis {\tt cas} du bandeau), dans ce cas, la touche {\tt ENTER} effectue le calcul num\'erique en \'evaluant les constantes et les variables.\\ \section{Notations} Les quatre flèches de direction du curseur sont ici représentées par les quatre triangles : $$\triangle\ \lhd \ \rhd \ \bigtriangledown $$ \index{$ \triangle\ \lhd \ \rhd \ \bigtriangledown$} La flèche d'effacement (effacement du caractère se trouvant avant le curseur) est représentée par : $$\Leftarrow$$\index{$\Leftarrow$} La flèche rouge au dessus du 0 est représentée par : $$\rightarrow$$\index{$\rightarrow$} La touche {\tt STO} est représentée dans un programme par : $$ {\tt STO\triangleright \mbox{ ou }\triangleright}$$\index{$\triangleright$ {\tt STO}$\triangleright$ } Le retour à la ligne (en rouge au dessus du point) est representé par : $$\hookleftarrow$$\index{$\hookleftarrow$} \section{Les flags}\label{sec:flag} La plupart des commandes tiennent compte des indicateurs (flags) du système.\\ Chaque flag est repéré par un numéro et a une valeur par défaut.\\ Si on veut changer la valeur d'un flag, on peut le faire en tapant sur la touche {\tt MODE}, puis sur {\tt F1} pour {\tt flags} du bandeau, on accède ainsi au gestionnaire des flags. On coche le flag que l'on veut changer et sa nouvelle fonction appara\^it.\\ Quand on connait le numéro d'un flag, on peut aussi changer sa valeur à l'aide des commandes {\tt SF}\index{SF} ou {\tt CF}\index{CF}. Par exemple pour changer le flag de numéro 117 (c'est le flag qui gére l'affichage des menus) on tape :\\\label{sec:flag} {\tt SF(-117)} (les menus se trouvent alors inscrits dans le bandeau) et alors :\\ {\tt FS?(-117)}\index{FS?} est égal à {\tt 1.} et {\tt FC?(-117)}\index{FC?} est égal à {\tt 0.}.\\ Pour avoir à nouveau des menus déroulants il suffit de taper :\\ {\tt CF(-117)} ({\tt FS?(-117)} est alors égal à {\tt 0.} et {\tt FC?(-117)} à {\tt 1.}).\\ \chapter{Touches importantes} \section{La touche APPS} Cette touche ouvre le menu des différentes applications. \subsection{Plot functions} On trouve :\\ {\tt Equation entry}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F1 (Y=)}.\\ {\tt Plot window}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F2 (WIN)}.\\ {\tt Graph display}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F3 (GRAPH)}.\\ {\tt Plot setup}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F4 (2D/3D)}.\\ {\tt Table setup}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F5 (TBLSET)}.\\ {\tt Table display}. Ce menu est identique à la suite de touches {\tt shift-bleu F6 (TABLE)}.\\ On se reportera au chapitre \ref{sec:graph} pour avoir plus de détails \subsection{I/O functions} Ce sont les fonctions qui permettent de faire dialoguer votre calculatrice avec votre ordinateur.\\ Par exemple on trouve en 5 : {\tt Transfer}.\\ Si on tape sur 5 puis {\tt ok} du bandeau on ouvre la fen\^etre {\tt Transfer} :\\ Port : Wire\\ Type : Kermit (ou XModem)\\ Par exemple, voilà comment on utilise le programme Kermit sous Linux :\\ -On branche la calculatrice au cordon de transfert.\\ -Sur l'ordinateur on tape :\\ {\tt kermit}\\ puis {\tt serv}\\ -Sur la {\tt HP49G} on tape :\\ {\tt SEND('NOM')}\\ pour que la variable de nom {\tt NOM} qui se trouve sur votre {\tt HP49G} soit recopiée sur votre ordinateur.\\ -Ou\\ Sur la {\tt HP49G} on tape :\\ {\tt KGET('NOM')}\\ pour que la variable de nom {\tt NOM} qui se trouve sur votre ordinateur soit recopiée sur votre {\tt HP49G}. \subsection{Constants library} Cela ouvre une liste de 40 constantes de la physique.\\ Ces constantes sont définies par leurs abréviations et leurs noms ou leurs valeurs (si {\tt value} du bandeau est coché).\\ Elles sont suivies de leurs unités si {\tt unit} du bandeau est coché.\\ Elles peuvent \^etre recopiées dans la ligne de commande quand on appuie sur {\tt ->stk} du bandeau. \subsection{Numeric solver} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la suite de touches {\tt shift-rouge 7 (NUM.SLV)}. \subsection{Time \& date} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la suite de touches {\tt shift-rouge 9 (TIME)}. \subsection{Equation writer} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la touche {\tt EQW}.\\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:eqw}. \subsection{File manager} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la suite de touches {\tt shift-bleu APPS (FILES)}.\\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:rep}. \subsection{Matrix writer} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la suite de touches {\tt shift-bleu EQW (MTRW)}.\\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:mtrw}. \subsection{Text editor} Cela ouvre la ligne de commande : il faut remarquer que ce que l'on écrit peut s'écrire sur plusieurs lignes (lorsqu'on tape sur ${\tt shift-rouge\ \bullet\ (\hookleftarrow)}$). \subsection{Math menu} Ce menu est identique au menu obtenu à partir de la suite de touches {\tt shift-bleu SYMB (MTH)}. \subsection{CAS menu} On trouve :\\ {\tt 1.ARITHMETIC} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 1 (ARIT)} \\ {\tt 2.ALGEBRA} correspondant au menu de {\tt shift-rouge 4 (ALG)}\\ {\tt 3.COMPLEX} correspondant au menu de {\tt shift-rouge 1 (CMPLX)}\\ {\tt 4.CALCULUS} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 4 (CALC) }\\ {\tt 5.EXP\&LN} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 8 (EXP\&LN)}\\ {\tt 6.SYMBOLIC SOLVER} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 7 (S.SLV)}\\ {\tt 7.MATRICES} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 5 (MATRICES)}\\ {\tt 8.CONVERT} correspondant au menu de {\tt shift-bleu 6 (CONVERT)}\\ {\tt 9.TRIGONOMETRIC} correspondant au menu de {\tt shift-rouge 8 (TRIG)}\\ Pour plus de détails, on se reportera au chapitre \ref{sec:cas}. \section{La touche MODE} Cette touche permet de régler le mode de fonctionnement de votre calculatrice : mode {\tt Algeraic} ou {\tt RPN}, de régler les {\tt flags} (touche {\tt F1}), de régler le fonctionnement du {\tt cas} (touche {\tt F3}) et de régler la taille de l'affichage avec {\tt disp} (touche {\tt F4}).\\ Par exemple (cf page \pageref{sec:flag}) le {\tt flag 117} peut \^etre :\\ {\tt choose boxes} pour avoir des menus déroulants\\ ou\\ {\tt soft menu} pour avoir les menus dans le bandeau.\\ \section{La touche TOOL} Cette touche fait appara\^itre un bandeau contenant :\\ {\tt edit} pour éditer la première ligne (ou la ligne mise en surbrillance).\\ {\tt view} pour visualiser la première ligne (ou la ligne mise en surbrillance).\\ {\tt rcl} identique à la suite de touches ${\tt shift-bleu\ STO \triangleright\ (RCL)}$ (cf page \pageref{sec:rcl}).\\ {\tt sto $\triangleright$ } identique à la touche ${\tt STO \triangleright}$.\\ {\tt purge} identique à la commande {\tt PURGE} (cf page \pageref{sec:purge}).\\ {\tt clear} efface la ligne de commande en cours en laissant le curseur en début de ligne (n'est pas identique à {\tt CANCEL} qui annule la ligne de commande en cours!!!).\\ Attention, {\tt clear} efface tout l'historique en l'absence de ligne de commande et est alors identique à ${\tt shift-rouge\ \leftarrow (CLEAR)}$. \section{La touche UNDO (shift-rouge HIST)} Cette touche est très pratique puisqu'elle permet d'annuler la dernière commande. \section{La touche VAR} Cette touche fait appara\^itre un bandeau contenant le nom de toutes les variables utilisées (appuyer sur {\tt NXT} pour tout voir!!!).\\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:var}. \section{La touche EQW } %\ref{sec:eqw} Elle permet d'ouvrir l'éditeur d'équations.\\ Cette touche peut \^etre utilisée à tout moment m\^eme à l'intérieur de l'éditeur de matrices.\\ On peut aussi accéder à l'historique depuis l'éditeur d'équations (cf \ref{sec:hist}). Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:eqw}. \section{La touche MTRW (shift-bleu EQW)} Elle permet d'ouvrir l'éditeur de matrices pour éditer des tableaux. Si vous voulez entrer un vecteur, veillez à ce que {\tt vect} du bandeau soit coché.\\ Pour écrire une matrice :\\ On édite la première ligne, puis on fait revenir le curseur au début de la deuxième ligne, puis on écrit les lignes suivantes, le curseur se met automatiquement au début des autres lignes.\\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:mtrw}. \section{La touche SYMB} Cela ouvre le menu des fonctions symboliques de base classées par thème.\\ Les différents sous-menus contiennent les fonctions du {\tt cas} utiles à un élève de terminale. On retrouve ces fonctions (et d'autres!) dans les menus correspondants du {\tt cas}.\\ Exemple :\\ Le {\tt SYMBOLIC ARITH MENU} est une partie du sous-menu {\tt INTEGER} du menu {\tt ARITH (shift-bleu 1)}. \section{La touche MTH (shift-bleu SYMB)} Cela ouvre le menu des fonctions mathématiques.\\ On notera :\\ Les fonctions hyperboliques (sous -menu 4) comme :\\ {\tt SINH ASINH COSH ACOSH TANH ATANH}\\ Les fonctions :\\ {\tt EXPM(X)=EXP(X)-1 LNP1(X)=LN(X+1)}\\ et les fonctions utiles pour les réels (sous -menu 5) comme :\\ {\tt FLOOR(X)} qui donne la partie entière de {\tt X}.\\ {\tt CEIL(X)} qui donne la partie entière de {\tt X+1} si {\tt X} n'est pas entier et {\tt X} sinon.\\ {\tt RND(X,n)} qui arrondit {\tt X} avec {\tt n} décimales.\\ {\tt TRNC(X,n)} qui tronque {\tt X} avec {\tt n} décimales. \section{La touche UNITS (shift-rouge 6)} Le menu {\tt UNITS } contient 127 unités classées par catégories.\\ Pour utiliser des unités il faut écrire l'unité précedée de {\tt \_} ({\tt shift-rouge -}).\\ On peut faire des changements d'unités gr\^ace à la fonction {\tt CONVERT} (qui se trouve dans le sous-menu {\tt Tools} du menu {\tt UNITS}).\\ Exemple :\\ On tape :\\ {\tt CONVERT(12\_cm,1\_m)}\\ On obtient :\\ {\tt 0.12\_m} \section{La touche HIST}\label{sec:hist} Cette touche permet d'accéder à l'historique lorsqu'on est en train de taper une commande. Elle permet aussi d'y accéder depuis l'éditeur d'équations ou de matrices. \\ Il faut savoir que ce que l'on recopie est recopié ET évalué.\\ Si on veut réutiliser un résultat sans qu'il soit évalué, il faut utiliser :\\ {\tt ANS(1)} ou {\tt ANS(2)}...({\tt shift-bleu ENTER (ANS(1)}).\\ Si on veut réutiliser une commande, on peut aussi utiliser {\tt shift-bleu HIST (CMD)} qui donne la liste des dernières commandes utilisées. \chapter{Saisie} \section{L'\'editeur d'\'equations}\label{sec:eqw} \subsection{Acc\`es \`a l'equationwriter} La touche {\tt EQW} (pour EQuationWriter) vous permet d'entrer dans l'\'editeur d'\'equations, \`a tout moment, lors de la saisie de la ligne de commande.\\ C'est un \'editeur tr\`es performant pour \'ecrire, simplifier et travailler sur des expressions math\'ematiques. Lorsque l'on est dans l'\'editeur d'\'equations on peut taper des expressions en sachant que l'opérateur que l'on utilise porte toujours sur l'expression adjacente ou sur l'expression s\'electionn\'ee. On ne se pr\'eoccupe pas de mettre des parenth\`eses, on s\'electionne!!! \\ Il faut voir les expressions math\'ematiques comme un arbre (pas forc\'ement binaire) et comprendre que les quatre fl\`eches permettent de parcourir l'arbre de fa\c{c}on naturelle (les fl\`eches droite et gauche permettent d'aller d'un sous-arbre \`a l'autre, les fl\`eches haut et bas de monter ou de descendre dans l'arbre, les fl\`eches droite et gauche ``shift\'ees'' permettent diverses s\'elections (cf page \pageref{sec:exemple2} l'exemple 2)). \subsection{Comment s\'electionner?} On peut entrer dans le mode s\'election de deux fa\c{c}ons \begin{itemize} \item La fl\`eche $\triangle$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne l'\'elément adjacentau curseur.\\ Si vous appuyez à nouveau sur $\rhd$ vous augmentez votre s\'election du sous-arbre conitgu (à droite de votre sélection). \item La fl\`eche $\rhd$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne le sous-arbre adjacent au curseur. \item Attention : si on est en train de taper une fonction ayant plusieurs arguments (comme par exemple une $\sum$ ou une $\int$ ou {\tt AND}), la fl\`eche $\rhd$ permet de progresser dans l'écriture, en changeant le curseur d'emplacement (la fl\`eche $\rhd$ permet le passage d'un argument à l'autre)). Il faut donc toujours dans ce cas sélectionner avec la fl\`eche $\triangle$ (cf \ref{sec:sum}) \end{itemize} Exemples de fonctionnement de cet \'editeur : \begin{itemize} \item Exemple 1\\ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ *\ 3 \ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt 2+X \cdot 3-X}$$ {\tt ENTER} {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 2+2 \cdot X}$$ On tape :$${\tt 2\ +\ X \ \rhd\ * \ 3 \ -\ X}$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot 3-X}$$ {\tt ENTER} {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 6+2 \cdot X}$$ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ \rhd\ *\ 3\ \triangle\ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot (3-X)}$$ {\tt ENTER} {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt-(X^2-X-6)}$$ \item Exemple 2 \label{sec:exemple2}\\ Si on veut taper : $${\tt X^2-3 \cdot X+1}$$ On tape : $${\tt X \ y^x \ 2 \ \rhd \ - \ 3 \ X \ + \ 1 }$$ %En effet il faut sélectionner ${\tt -3 \cdot X}$ avant de taper ${\tt +\ 1}$ \item Exemple 3\\ %\label{sec:exemple3} Si on veut taper : $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$ Ici, le sommet de l'arbre est un $+$ et il y a 4 sous arbres ; chacun de ces sous-arbres a comme sommet un $\div$ et poss\`ede deux feuilles. On tape tout d'abord {\tt EQW}, puis le premier sous -arbre : $${\tt1 \div 2} $$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le second sous-arbre : $${\tt 1 \div 3}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le troisi\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 4}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le quatri\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 5}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ Maintenant, l'expression voulue $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}$$ se trouve ecrite dans l'equationwriter et ${\tt \frac{1}{5}}$ est s\'electionn\'ee. Parcourez l'arbre pour s\'electionner $${\tt\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Il faut taper $$ \lhd$$ pour s\'electionner ${\tt \frac{1}{4}}$ puis $${\tt shift-rouge \lhd}$$ permet de s\'electionner deux sous-arbres contigus ici $${\tt \frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Int\'er\^et : On peut demander d'effectuer le calcul de la partie s\'electionn\'ee en faisant $${\tt shift-rouge \ SYMB\ (EVAL)}$$ On obtient : $${\tt \frac{1}{2}+\frac{7}{12}+\frac{1}{5}}$$ Si on veut effectuer maintenant le calcul partiel $$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$$ il faut tout d'abord faire une permutation pour que ${\tt \frac{1}{2}}$ et ${\tt \frac{1}{5}}$ soient c\^ote \`a c\^ote en tapant $${\tt shift-bleu \lhd} $$ qui \'echange l'élément s\'electionn\'e avec son voisin de gauche. On obtient $${\tt \frac{7}{12}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ et ${\tt \frac{7}{12}}$ est s\'electionné, puis $${\tt \rhd shift-rouge \rhd}$$ s\'electionne $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ On peut alors faire \`a nouveau {\tt EVAL}. \end{itemize} \subsection{Comment modifier une expression} Pour remplacer la sélection par une expression, il suffit de taper l'expression. \\ Pour supprimer la sélection sans supprimer l'expression on tape : $${\tt \Leftarrow}$$ Pour supprimer l'expression s\'electionnée on tape : $${\tt shift-rouge\ \Leftarrow \ \ (CLEAR)}$$ Pour supprimer un opérateur unaire, sommet de l'arbre sélectionné, on tape : $${\tt shift-bleu\ \Leftarrow \ \ (DEL)} $$ par exemple pour remplacer $\sin(expr)$ par $\cos(expr)$, on efface $\sin$ (en sélectionnant $\sin(expr)$ puis ${\tt shift-bleu\ \Leftarrow} $) puis on tape $\cos$.\\ Pour supprimer un opérateur binaire, il faut utiliser {\tt edit} du bandeau, corriger dans l'éditeur, et revenir à l'éditeur d'équations avec {\tt ENTER}.\\ La touche {\tt HIST} (utilisée depuis l'éditeur d'équations) permet de revenir à l'historique et de recopier un élément de l'historique avec {\tt echo} du bandeau. \subsection{Comment \'ecrire {\tt AND} $\int$ et $\sum$} \label{sec:sum} Pour entrer {\tt AND} on le tape en mode {\tt alpha} puis on tape $\rhd$.\\ Pour entrer le signe $\int$ il suffit de taper $${\tt shift-rouge\ TAN \ (\int) }$$ Pour entrer le signe $\sum$ il suffit de taper $${\tt shift-rouge\ SIN \ (\sum) }$$ le curseur se place aux endroits voulus et se d\'eplace \`a l'aide de $${\tt \rhd}$$ Les expressions que l'on rentre suivent la loi de la s\'election expliqu\'ee pr\'ec\'edemment, mais il faut entrer dans le mode s\'election avec $\triangle$. Attention, ne pas utiliser l'indice $i$ pour d\'efinir la somme car $i$ d\'esigne le nombre complexe solution de $x^2+1=0$. Il faut savoir que $\sum $ sait calculer symboliquement les sommes de fractions rationnelles et les series hypergéométriques qui admettent une primitive discrète (à partir de la ROM version 1.11).\\ En mode numérique $\sum $ effectue des calculs approch\'es (par exemple $\sum_{k=0}^4 \frac{1}{k!}=2.70833333334$ alors que $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=\frac{65}{24}$) (le symbole \ $!$ \ s'obtient en tapant ${\tt alpha\ shift-rouge\ 2}$). \subsection{Le mode curseur} Le mode curseur permet de sélectionner une grande expression rapidement :\\ pour cela taper {\tt shift-rouge EQW (')} pour passer en mode curseur (ou taper sur {\tt curs} du bandeau) puis, utiliser les flèches pour inclure votre sélection dans une boite puis, {\tt ENTER} pour sélectionner le contenu de la boite, ou {\tt CANCEL} si vous voulez annuler votre sélection. \subsection{Pour tout voir} En tapant sur {\tt big} du bandeau, on grossit ou on diminue, la taille de l'écriture : cela dans certain cas, permet de voir en entier une grande expression.\\ Si cela est insuffisant appuyer sur {\tt view} du bandeau de la touche {\tt TOOL}. \section{L'éditeur de tableaux}\label{sec:mtrw} Pour ouvrir l'éditeur de tableaux ou le matrix writer taper :\\ {\tt shift-bleu EQW (MTRW)}.\\ Vous pouvez alors entrer les éléments de la première ligne en appuyant sur {\tt ENTER} après chaque entrée (vous pouvez bien s\^ur vous servir de l'éditeur d'équations pour les écrire!!!), puis il faut ramener le curseur avec les flèches au début de la deuxième ligne etc...(le curseur revient ensuite automatiquement au début de la troisième ligne).\\ Si vous entrez un nombre négatif, par exemple $-2$, tapez $^+/_-\ 2$.\\ Si vous voulez entrer un vecteur pensez à vérifier que {\tt vect} du bandeau est coché. \\ A noter qu'en mode {\tt Algébrique} on doit entrer les éléments un à un (il faut appuyer sur {\tt ENTER} après chaque élément), alors qu'en mode {\tt RPN} on peut écrire plusieurs éléments en les séparant par des espaces. \section{L'éditeur de texte} C'est la ligne qui s'ouvre sous l'historique pour taper une commande.\\ C'est un véritable éditeur de texte o\`u l'on peut : sélectionner une expression (avec {\tt BEGIN END}), la couper ({\tt CUT}) ou la recopier dans le buffer ({\tt COPY}), puis la recopier là o\`u se trouve le curseur ({\tt PASTE}).\\ Il faut noter que toutes ces commandes fonctionnent aussi dans {\tt EQW} et {\tt MTRW}. \subsection{\tt BEGIN END} Mettre le curseur sur le premier élément du texte à sélectionner puis taper :\\ {\tt shift-rouge APPS (BEGIN)}.\\ Puis déplacer le curseur sur l'élément suivant le dernier caractère et taper :\\ {\tt shift-rouge MODE (END)}.\\ Votre sélection appara\^it. \subsection{\tt COPY}\index{COPY} {\tt shift-rouge VAR (COPY)} recopie la sélection dans le buffer. \subsection{\tt CUT}\index{CUT} {\tt shift-rouge STO (CUT)} recopie la sélection dans le buffer et l'efface. \subsection{\tt PASTE}\index{PASTE} {\tt shift-rouge NXT (PASTE)} recopie la sélection là o\`u se trouve le curseur (il faut avoir fait avant, soit {\tt COPY}, soit {\tt CUT}, pour que la sélection soit dans le buffer). \section{Les variables}\label{sec:var} Vous pouvez stocker des objets dans des variables, et les réutiliser en utilisant le nom de la variable.\\ Bien voir la différence entre {\tt A} et {\tt 'A'} :\\ {\tt A} est évalué (désigne l'exécution du contenu ) et {\tt 'A'} n'est pas évalué (désigne le nom de la variable).\\ Par exemple :\\ {\tt STO(B,'A')} : le contenu de {\tt B} est mis dans {\tt A}.\\ {\tt STO('B','A')} signifie qu'à tout moment {\tt B} et {\tt A} ont m\^eme contenu.\\ {\tt VAR} affiche un bandeau qui contient toutes les variables que vous avez définies ainsi que les sous-répertoires (ils se différencient des variables, dans le bandeau, par leur forme de ''valise''). Il faut savoir que {\tt shift-bleu APPS (FILES)} affiche l'arborescence des variables de {\tt HOME} ainsi que la mémoire d'archive et facilite la gestion des variables. \subsection{\tt STO}\index{STO} {\tt STO} permet de créer une variable et de stocker un objet dans cette variable.\\ {\sc Attention} {\tt STO} est préfixé si on tape la commande en mode alpha, et est infixée si on utilise la touche {\tt STO} (notée dans la suite ${\tt STO\triangleright}$ ou ${\tt \triangleright}$).\\ Exemples :\\ On tape :\\ {\tt STO(1,'A')}\\ ou\\ on utilise la touche ${\tt STO\triangleright}$ qui se traduit à l'écran par ${\tt \triangleright}$ :\\ on tape :\\ ${\tt 1\ STO\triangleright\ A}$ (${\tt 1\ \triangleright\ A}$).\\ On remarque qu'ici les {\tt ' '} autour de {\tt A} sont inutiles.\\ La variable {\tt A} est alors créée et cette variable contient 1.\\ On tape :\\ ${\tt \ll 12 \gg\ STO\triangleright\ P}$\\ {\tt P} est une variable contenant le programme ${\tt \ll 12 \gg\ }$ qui affiche {\tt 12}.\\ \subsection{\tt RCL}\index{RCL}\label{sec:rcl} {\tt RCL} a comme paramètre le nom de la variable entouré de {\tt ' }et permet d'afficher le contenu de cette variable.\\ Pour récupérer le contenu d'une variable, il suffit de taper le nom de cette variable, {\sc sauf}, si cette variable contient un programme (car alors le programme est exécuté).\\ Dans l'exemple précédent :\\ {\tt A} affiche 1 et {\tt P} affiche 12 \\ alors que :\\ {\tt RCL('A')} affiche 1 et {\tt RCL('P')} affiche ${\tt \ll 12 \gg\ }$. \subsection{\tt PURGE}\index{PURGE}\label{sec:purge} {\tt PURGE} permet d'effacer le nom de la variable et son contenu.\\ On trouve {\tt PURGE} dans le menu {\tt TOOL}\\ On tape :\\ {\tt PURGE('A')} \subsection{Les variables prédéfinies} Le nom de la variable symbolique courante se trouve dans {\tt VX} (ce sera en général {\tt X}, il ne faut donc pas utiliser {\tt X} comme nom de variable ou effacer le contenu de {\tt X} avant de faire du calcul symbolique.\\ {\tt EPS} contient la valeur de epsilon utilisé dans la commande {\tt EPSX0} (cf \ref{sec:epsx0}).\\ {\tt EQ} contient l'équation du dernier graphe réalisé.\\ {\tt MATRIX} contient la matrice utilisée comme argument de {\tt JORDAN,EGV} ou {\tt EGVL}.\\ {\tt MODULO} contient la valeur de $p$ quand on fait du calcul symbolique dans $Z/p.Z$.\\ {\tt PERIOD} doit contenir la période de la fonction dont on veut les coefficients de Fourier (cf \ref{sec:fourier}). \\ {\tt PRIMIT} contient la primitive de la dernière fonction intégrée.\\ {\tt REALASSUME} contient le nom des variables symboliques que l'on considère comme réelles (par défaut {\tt X, t} et toutes les variables d'intégration utilisées).\\ {\tt SYSTEM} contient le système utilisé comme argument de {\tt rref} ou {\tt RREF} si ce système a au moins un paramètre.\\ \section{Les répertoires}\label{sec:rep} Au début, vous n'avez que le répertoire {\tt HOME} qui sera la racine principale de vos répertoires futurs (répertoire père). \subsection{Création d'un répertoire} Taper {\tt shift-bleu APPS (FILES)} qui affiche la structure en arbre de vos répertoires.\\ Sélectionner le répertoire que vous choisissez commme père (par exemple {\tt HOME} au début) puis {\tt ok} du bandeau.\\ Un bandeau contenant {\tt edit copy move...} s'affiche, faire {\tt NXT} et sélectionner avec {\tt F3} {\tt new} (new variable or directory ).\\ Ne pas remplir {\tt Object} mais {\tt Name} (il suffit de taper le nom que vous avez choisi puis {\tt ok} du bandeau).\\ Puis cocher {\tt Directory} avec {\tt F3 (chk)}, puis {\tt ok} du bandeau.\\ Puis {\tt CANCEL} pour revenir dans {\tt HOME}.\\ Vérifier en tapant sur {\tt VAR} que votre répertoire a bien été créé.\\ On peut aussi créer un répertoire gr\^ace à la commande {\tt CRDIR}.\\ On se met dans le répertoire qui va \^etre le père et on tape :\\ {\tt CRDIR('NOMREP')}\\ Un sous-répertoire de nom {\tt NOMREP} est alors créé. \subsection{Travailler dans un répertoire} Travailler dans un répertoire est facile : il suffit d'appuyer sur {\tt VAR} pour faire appara\^itre le nom des sous répertoires dans le bandeau, puis d'ouvrir le répertoire voulu en appuyant sur la touche {\tt Fi} correspondant à son nom, puis {\tt ENTER}.\\ Pour remonter dans l'arbre des répertoires il suffit de taper : \\ {\tt shift-bleu VAR (UPDIR)} \subsection{Effacer, renommer, déplacer un répertoire} Taper {\tt shift-bleu APPS (FILES)} qui affiche la structure en arbre de vos répertoires.\\ Sélectionner le répertoire que vous voulez effacer, renommer, déplacer, puis {\tt ok} du bandeau.\\ Un bandeau contenant {\tt edit copy move...purge rename...} s'affiche.\\ {\tt purge} efface ce répertoire à condition qu'il soit vide.\\ {\tt rename } lui donne un autre nom.\\ {\tt copy} le copie (on utilise les flèches pour désigner la destination puis {\tt ok}).\\ {\tt move} le déplace (on utilise les flèches pour désigner la destination puis {\tt ok}).\\ \chapter{Graphique}\label{sec:graph} \section{Les différentes fen\^etres} \subsection{Equation entry} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F1 (Y=)}. Elle permet de définir l'équation du graphique. \subsection{Plot window} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F2 (WIN)}.\\ Elle permet de définir la fen\^etre de visualisation et de donner les bornes entre lesquelles on veut faire varier le paramètre indépendant.\\ Si le paramètre indépendant est à {\tt Default} cela veut dire qu'il varie comme le paramètre horizontal de la fen\^etre.\\ Pour remettre un paramètre à {\tt Default} il faut taper sur {\tt NXT} puis sur {\tt reset} du bandeau. \subsection{Graph display} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F3 (GRAPH)}.\\ Elle permet d'obtenir le graphe quand tous les paramètres ont été choisis. \subsection{Plot setup} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F4 (2D/3D)}.\\ Elle permet de définir le type du graphique, l'équation et les variables. \subsection{Table setup} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F5 (TBLSET)}.\\ Elle permet d'initialiser un tableau de valeurs. \subsection{Table display} Cette fen\^etre est obtenue avec la suite de touches :\\ {\tt shift-bleu F6 (TABLE)}.\\ Elle donne le tableau de valeurs qui a été initialisé par {\tt TBLSET}. \section{Les différents champs à définir} \subsection{Le type} Le type de tracé que l'on veut peut \^etre choisi gr\^ace au {\tt choos} du bandeau de la fen\^etre {\tt PLOT SETUP (shift-bleu F4 (2D/3D))}.\\ On détaillera ici les tracés les plus utilisés comme :\\ {\tt Function} pour tracer le graphe de fonctions en coordonnées cartésiennes.\\ {\tt Polar} pour tracer des courbes en coordonnées polaires.\\ {\tt Parametric} pour tracer des courbes en coordonnées paramétriques.\\ {\tt Truth} pour tracer les solutions d'inéquations (le pixel (x,y) est allumé si {\tt EQ} est vraie).\\ {\tt Diff Eq} pour tracer les solutions de l'équation différentielle $y'=f(x,y)$.\\ On peut tracer les solutions sur l'intervalle [$a,b$] vérifiant $y(x_0)=y_0$.\\ Pour cela, on met dans {\tt H-View} les valeurs de $a$ et $b$ puis $x_0$ dans {\tt Init} et $y_0$ dans {\tt Init-Soln}.\\ Puis on fait le tracé en deux temps : on met {\tt Final} à $b$ pour avoir la solution sur [$x_0,b$], on trace, puis on met {\tt Final} à $a$ pour avoir la solution sur [$a,x_0$] et on trace.\\ {\tt Slopefield} pour tracer le champ des tangentes d'une équation différentielle de la forme $y'=f(x,y)$.\\ {\tt Fast3D} pour tracer une surface définie par $z=f(x,y)$.\\ On peut ensuite faire tourner le repère à l'aide des touches {\tt NXT}, {\tt TOOL} et des flèches $\triangle\ \lhd \ \rhd \ \bigtriangledown $... ce qui permet d'avoir une bonne vision de la surface. \subsection{L'équation} L'équation peut \^etre entrée de plusieurs façons :\\ -on peut la stocker dans la variable {\tt EQ}.\\ -on peut la taper dans la fen\^etre ouverte avec {\tt shift-bleu F1 (Y=)}.\\ -on peut la taper dans le champ {\tt EQ} de la fen\^etre {\tt PLOT SETUP} ouverte avec {\tt shift-bleu F4 (2D/3D)}.\\ -on peut aussi utiliser la fonction du {\tt cas PLOT}\index{PLOT} qui prend comme argument une équation, la stocke dans {\tt EQ} et ouvre la fen\^etre {\tt PLOT SETUP}.\\ Il faut noter que {\tt EQ} peut \^etre une liste d'équations, dans ce cas on aura sur le m\^eme graphe les courbes correspondant aux éléments de la liste.\\ On peut aussi gr\^ace à la fonction du {\tt cas PLOTADD}\index{PLOTADD} rajouter une équation à la liste d'équations contenue dans {\tt EQ}. \subsection{Variable indépendante et forme de l'équation} La forme de l'équation depend du type de graphique choisi et du choix de la variable indépendante.\\ Selon les cas, on tape une équation de la forme :\\ ${\tt f(x)}$ pour le tracé du graphe de $y=f(x)$ en coordonnées cartésiennes, si ${\tt x}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Function}.\\ ${\tt f(t)}$ pour le tracé en coordonnées polaires de la courbe $r=f(t)$, si ${\tt t}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Polar}.\\ ${\tt x(t)+i.y(t)}$ pour tracer la courbe $(x=x(t),y=y(t))$ en coordonnées paramétriques, si ${\tt t}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Parametric}.\\ ${\tt f(x,y)>0}$ pour hachurer la zone correspondante, si ${\tt x}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Truth}.\\ ${\tt f(t,y)}$ pour tracer les solutions de l'équation différentielle $y'=f(t,y)$ si, ${\tt t}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Diff Eq}.\\ ${\tt f(t,y)}$ pour tracer le champ des tangentes d'une équation différentielle de la forme $y'=f(t,y)$, si ${\tt t}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Slopefield}.\\ ${\tt f(x,y)}$ pour tracer une surface définie par $z=f(x,y)$ si ${\tt x}$ est la variable indépendante et si le type est {\tt Fast3D}.\\ Quelquefois, le nom de la deuxième variable peut \^etre changé, par défaut son nom est ${\tt y}$. Ce nom est toujours précédé de {\tt Depend} m\^eme si c'est une variable indépendante!!!! Ne pas tenir compte du mot {\tt Depend}. \section{Le tracé} Avant de faire un tracé, il faut régler différents paramètres.\\ Quand tous les paramètres sont entrés, pour effectuer le tracé il suffit d'appuyer sur :\\ {\tt erase draw} (si on veut effacer le graphique précédent) ou\\ {\tt draw} (si on veut garder le graphique précédent) \\ du bandeau de l'une des fen\^etres :\\ {\tt PLOT SETUP (shift-bleu F4 (2D/3D))} \\ {\tt PLOT (shift-bleu F1 (Y=))} \\ {\tt PLOT WINDOW (shift-bleu F2 (WIN))}.\\ On peut aussi taper :\\ {\tt shift-bleu F3 (GRAPH)} pour effectuer le tracé sans effacer le précédent.\\ On peut revoir le dernier graphe en appuyant sur ${\tt \lhd}$. \chapter{Calcul formel}\label{sec:cas} \section{Les entiers (et les entiers de Gauss)} Dans tout ce paragraphe, on peut utiliser des entiers de Gauss à la place des entiers dans les différentes fonctions.\\ \subsection{\tt Ecriture normale} La calculatrice peut g\'erer des nombres entiers en pr\'ecision infinie, essayez : $$100!$$ \indent Le symbole \ $!$ \ s'obtient soit en tapant ${\tt alpha\ shift-rouge\ 2}$, soit en utilisant {\tt shift-rouge CAT (CHARS)}. Dans ce cas, on s\'electionne \ $!$ \ dans {\tt CHARS} (avec les fl\`eches) puis on le recopie avec {\tt echo1} du bandeau. L'écriture décimale de $100!$ étant tr\`es longue, on peut voir le r\'esultat gr\^ace \`a la touche {\tt TOOL} puis {\tt view }du bandeau.\\ La touche {\tt HIST}, puis la flèche vers le haut, permet de remonter dans l'historique et {\tt view }du bandeau de visualiser les résultats. \subsection{\tt DEFINE}\index{DEFINE} Soit l'exercice suivant :\\ Calculer les six premiers nombres de Fermat $F_k=2^{2^k}+1$ pour $k=1..6$ et dire s'ils sont premiers. On tape l'expression $$2^{2^2}+1$$ on trouve 17, puis on lance la commande {\tt ISPRIME?()}\index{ISPRIME?} avec comme argument {\tt ANS(1)}. Cette commande se trouve dans le menu {\tt ARITH (shift-bleu 1)} puis dans le sous menu {\tt 1 INTEGER} (ou on l'\'ecrit en mode $\alpha$). La r\'eponse est {\tt 1.}, ce qui veut dire {\tt vrai} Gr\^ace \`a l'historique ({\tt HIST}) je recopie l'expression $2^{2^2}+1$ dans la ligne de commande et je la modifie en $$2^{2^3}+1$$ Ou bien, je tape l'expression {\tt $2^{2^K}+1$ STO FK} puis {\tt 3 STO K} etc...\\ Ou bien, et c'est la meilleure méthode, on définit la fonction {\tt F(K)} à l'aide de {\tt DEF (shift-bleu 2)} ou en tapant $${\tt DEFINE(F(K)=2^{2^K}+1)}$$ La réponse est {\tt NOVAL} et {\tt F} s'inscrit parmi les variables (appuyer sur {\tt VAR} pour le vérifier). \\ Pour $K=5$ on tape : $${\tt F(5)}$$ On obtient : $$4294967297$$ On peut factoriser $F_5 $ avec {\tt FACTOR } que l'on trouve dans le menu :\\ {\tt ALG (shift-rouge 4)}.\\ On tape : $${\tt FACTOR( F(5))}$$ On obtient$$641 \cdot 6700417$$ Pour ${\tt F(6)}$ on trouve : $$18446744073709551617$$ On factorise avec {\tt FACTOR}, on trouve : $$274177.67280421310721$$ Attention \`a la diff\'erence entre : $$2\cdot5 =\frac{5}{2}$$ et$$2.5=10$$ %\item Les commandes arithmétiques communes aux entiers et aux polyn\^omes \subsection{\tt GCD}\index{GCD} {\tt GCD} désigne le PGCD de deux entiers (ou de deux listes d'entiers de m\^eme longueur).\\ On tape : $${\tt GCD(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ On tape : $${\tt GCD(\{18,28\},\{15,21\}) }$$ On obtient : $${\tt \{3,7\}}$$ en effet ${\tt GCD(18,15)=3 }$ et ${\tt GCD(28,21)=7 }$ \subsection{\tt LGCD}\index{LGCD} {\tt LGCD} désigne le PGCD d'une liste de nombres entiers.\\ On tape : $${\tt LGCD(\{18,15,21,36\}) }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ \subsection{\tt SIMP2}\index{SIMP2} \label{sec:simp2} {\tt SIMP2} a comme paramètre deux entiers (ou deux listes d'entiers). Ces deux entiers sont considérés comme représentants d'une fraction. {\tt SIMP2} renvoie la fraction simplifiée sous la forme d'une liste de deux entiers.\\ On tape : $${\tt SIMP2(18,15) }$$ On obtient : $${\tt \{6,5\}}$$ On tape : $${\tt SIMP2(\{18,28\},\{15,21\}) }$$ On obtient : $${\tt \{6,5,4,3\}}$$ \subsection{\tt LCM}\index{LCM} {\tt LCM} désigne le PPCM de deux entiers (ou de deux listes d'entiers).\\ On tape : $${\tt LCM(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 90}$$ \subsection{\tt FACTOR }\index{FACTOR} {\tt FACTOR} décompose l'entier en produit de facteurs premiers.\\ On tape : $${\tt FACTOR(90) }$$ On obtient : $${\tt 2.3^2.5}$$ \subsection{\tt FACTORS }\index{FACTORS} {\tt FACTORS} effectue aussi cette décomposition, mais le résultat est donné sous la forme d'une liste, formée par les diviseurs premiers et leur multiplicité.\\ On tape : $${\tt FACTORS(90) }$$ On obtient : $${\tt \{2,1.,3,2.,5,1.\} }$$ \subsection{\tt DIVIS} \index{DIVIS} {\tt DIVIS} donne la liste des diviseurs d'un entier.\\ On tape : $${\tt DIVIS(36) }$$ On obtient : $${\tt \{1,3,9,2,6,18,4,12,36 \} }$$ %\item Les différentes commandes arithmétiques entières \subsection{\tt IQUOT}\index{IQUOT} {\tt IQUOT} désigne le quotient entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IQUOT(148,5) }$$ On obtient : $${\tt 29}$$ \subsection{\tt IREMAINDER MOD}\index{IREMAINDER} {\tt IREMAINDER} désigne le reste entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IREMAINDER(148,5) }$$ ou\index{MOD} $${\tt 148\ MOD\ 5 }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ {\tt IREMAINDER} travaille avec des entiers ou des entiers de Gauss, c'est ce qui le différencie de {\tt MOD}.\\ {\tt MOD} accepte des réels mais pas des entiers de Gauss.\\ Essayer : $${\tt IREMAINDER(148!,5!+2 )}$$ ($!$ s'obtient avec {\tt alpha shift-rouge 2}). \subsection{\tt IDIV2}\index{IDIV2} {\tt IDIV2} donne la liste du quotient et du reste entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IDIV2(148,5) }$$ On obtient : $${\tt \{29,3\} }$$ En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école, avec l'algorithme dit de la ``potence''. \subsection{\tt ISPRIME?}\index{ISPRIME?} {\tt ISPRIME?(N)} si {\tt N} est pseudo-premier renvoie {\tt 1.} (vrai) et renvoie {\tt 0.} (faux) si {\tt N} n'est pas premier. \\ Définition : Pour les nombres inférieurs à $10^{14}$ \^etre pseudo-premier et premier c'est la m\^eme chose ! ...mais au delà de $10^{14}$ un nombre pseudo-premier est premier avec une probabilité très forte (cf l'algorithme de Rabin section\ref{sec:rabin}).\\ On tape : $${\tt ISPRIME?(13) }$$ On obtient :$${\tt 1.}$$ On tape : $${\tt ISPRIME?(14) }$$ On obtient : $${\tt 0.}$$ \subsection{\tt NEXTPRIME}\index{NEXTPRIME} {\tt NEXTPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé après ${\tt N}$. \\ On tape : $${\tt NEXTPRIME(75) }$$ On obtient : $${\tt 79}$$ \subsection{\tt PREVPRIME}\index{PREVPRIME} {\tt PREVPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé avant ${\tt N}$.\\ On tape : $${\tt PREVPRIME(75)}$$ On obtient : $${\tt 73}$$ \subsection{\tt IEGCD}\index{IEGCD} {\tt IEGCD(A,B)} désigne le PGCD étendu (identité de Bézout) de deux entiers.\\ {\tt IEGCD(A,B)} renvoie {\tt \{D,U,V\}} vérifiant {\tt AU+BV=D} et {\tt D=PGCD(A,B)}.\\ On tape : $${\tt IEGCD(48,30) }$$ On obtient : $${\tt \{6,2,-3\}}$$ En effet : $$2 \cdot 48+ (-3) \cdot 30 =6$$ \subsection{\tt IABCUV}\index{IABCUV} {\tt IABCUV(A,B,C)} donne {\tt \{U ,V\}} vérifiant {\tt AU+BV=C}.\\ Il faut bien s\^ur que {\tt C} soit un multiple du {\tt PGCD(A,B)} pour obtenir une solution.\\ On tape : $${\tt IABCUV(48,30,18) }$$ On obtient : $${\tt \{6,-9\}}$$ \subsection{\tt ICHINREM}\index{ICHINREM} {\tt ICHINREM([A,P],[B,Q])} désigne un nombre {\tt X} vérifiant :\\ {\tt X=A (mod P)} et {\tt X=B (mod Q)}. \\ Il existe toujours une solution {\tt X} si {\tt P} et {\tt Q} sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont congrues modulo {\tt N=P.Q} \\ Exemple : \\ Trouver les solutions de : $${\tt \left \{ \begin{array}{rl} X=&3\ (\bmod\ 5)\\ X=&9\ (\bmod\ 13) \end{array}\right.}$$ On tape : $${\tt ICHINREM([3,5],[9,13])}$$ On obtient : $${\tt [-147,65] }$$ ce qui veut dire que {\tt X=-147 (mod 65)} \subsection{\tt PA2B2}\index{PA2B2} {\tt PA2B2} décompose un entier $p$ premier, congru à 1 modulo 4 en \\ $p= a^2+b^2$. La calculatrice donne le résultat sous la forme $a+b \cdot i$\\ On tape : $${\tt PA2B2(17)}$$ On obtient : $${\tt 4+i }$$ en effet $17=4^2+1^2$ \subsection{\tt EULER}\index{EULER} {\tt EULER} désigne l'indicadrice d'EULER d'un entier. \\ EULER(n) est égale au cardinal de l'ensemble des nombres inférieurs à $n$ et premiers avec $n$. \\ On tape : $${\tt EULER(21)}$$ On obtient : $${\tt 12}$$ En effet l'ensemble :\\ E=\{2,4,5,7,8,10,11,13,15,16,17,19\} correspond aux nombres inférieurs à 21 qui sont premiers avec 21, et E a comme cardinal 12. \section{Les rationnels} Essayez : $$\frac{123}{12}+\frac{57}{21}$$ puis {\tt ENTER} la r\'eponse est : $$\frac{363}{28}$$ avec {\tt shift-rouge ENTER ($\rightarrow$NUM)} la r\'eponse est : $$12.9642857143$$ Si on m\'elange les deux repr\'esentations par exemple: $$\frac{1}{2}+0.5$$ la caculatrice demande \`a passer en mode {\tt approx} pour faire le calcul ; il faut alors r\'epondre {\tt yes} pour obtenir : $$1.$$ Revenez ensuite en mode exact ({\tt MODE cas} du bandeau etc...). \subsection{\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC} ${\tt PROPFRAC(A / B)}$ écrit la fraction $\frac{A}{B}$ sous la forme :$$Q+\frac{R}{B}\ \ avec \ \ 0\leq R2$, la limite quand $x$ tend vers 0 de : $$ \frac{n\times \tan(x)-\tan(n\times x)}{\sin(n\times x)-n\times \sin(x)}$$ On utilise la commande {\tt LIMIT} que l'on trouve dans le menu :\\ {\tt CALC (shift-bleu 4)} sous-menu 2 {\tt LIMIT \& SERIES} (ou on le tape en mode $\alpha$).\\ On tape : $${\tt LIMIT \left( \frac{N \cdot TAN(X)-TAN(N \cdot X)}{SIN(N \cdot X)-N \cdot SIN(X)}, 0 \right)}$$ On obtient : $${\tt 2 }$$ Trouver la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de : $$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}-\sqrt x$$ On tape : $${\tt LIMIT (\sqrt{X+\sqrt{X+\sqrt{X}}}-\sqrt{X}, +\infty)} $$ On obtient au bout d'un moment : $$\frac{1}{2}$$ Attention, ${\tt {+\infty}}$ s'obtient en tapant : $${\tt { \ ^+/_- \ \ ^+/_- \; \; \infty}\ (shift-bleu\ 0)\ }$$ \subsection{\tt LIMIT et $\int$}\index{LIMIT} D\'eterminer la limite quand $a$ tend vers l'infini de : $$ \int _2^a (\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1}))\ dx$$ On tape dans l'{\tt equationwriter} : $${\tt \int _2^{+\infty} (\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))\ dX} $$ Attention, ${\tt {+\infty}}$ s'obtient en tapant : $${\tt { \ ^+/_- \ \ ^+/_- \; \; \infty}\ (shift-bleu\ 0)\ }$$ On obtient : $${\tt +\infty-\frac{7.LN(3)}{2} }$$ et après simplification : $$+\infty$$ \subsection{\tt IBP}\index{IBP} {\tt IBP} a deux paramètres : une expression de la forme $u(x).v'(x)$ et $v(x)$.\\ {\tt IBP} renvoie une liste formée de $u(x).v(x)$ et de $-v(x).u'(x)$ c'est à dire des termes que l'on doit calculer quand on fait une intégration par parties.\\ Il reste alors à calculer l'intégrale du deuxième terme puis à faire la somme avec le premier terme pour obtenir une primitive de $u(x).v'(x)$(c'est très pratique en mode {\tt RPN}!!!).\\ On tape : $${\tt IBP(LN(X),X) }$$ On obtient : $${\tt \{X.LN(X),-1\}}$$ Remarque : Si le premier paramètre de {\tt IBP} est une liste de deux éléments, {\tt IBP} n'agit que sur le dernier élément de cette liste et ajoute le terme intégré au premier élément de la liste (de façon à pouvoir faire plusieurs {\tt IBP} à la suite en mode Algébrique). \subsection{\tt RISCH}\index{RISCH} {\tt RISCH} a deux paramètres : une expression et un nom de variable.\\ {\tt RISCH} renvoie une primitive du premier paramètre par rapport à la variable spécifiée en deuxième paramètre.\\ On tape : $${\tt RISCH((2.X^2+1).EXP(X^2+1),X) }$$ On obtient : $${\tt X.EXP(X^2+1)}$$ \section{Les expressions trigonométriques} \subsection{\tt TEXPAND}\index{TEXPAND} {\tt TEXPAND} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TEXPAND} développe cette expression en fonction de $\sin(x)$ et $\cos(x)$.\\ Exemple 1 :\\ On tape :\\ $${\tt TEXPAND( COS(X+Y))}$$ On obtient :\\ $${\tt COS(Y).COS(X)-SIN(Y).SIN(X)}$$ Exemple 2 :\\ On tape :\\ $${\tt TEXPAND( COS(3.X))}$$ On obtient :\\ $${\tt 4.{COS(X)}^3-3.COS(X)}$$ Exemple 3 :\\ On tape :\\ $${\tt TEXPAND( \frac{SIN(3.X)+SIN(7.X)}{SIN(5.X)})}$$ On obtient après une simplification (${\tt\triangle \ ENTER}$) :\\ $${\tt 4.{COS(X)}^2-2}$$ \subsection{\tt TLIN}\index{TLIN} {\tt TLIN} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TLIN} linéarise cette expression en fonction de $\sin(n.x)$ et $\cos(n.x)$.\\ Exemple :\\ On tape :\\ $${\tt TLIN(COS(X). COS(Y))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{1}{2}.COS(X-Y)+\frac{1}{2}.COS(X+Y)}$$ Exemple 2 :\\ On tape :\\ $${\tt TLIN({COS(X)}^3)}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{1}{4}.COS(3.X)+\frac{3}{4}.COS(X)}$$ Exemple 3 :\\ On tape :\\ $${\tt TLIN(4.{COS(X)}^2-2)}$$ On obtient :\\ $${\tt 2.COS(2.X)}$$ \subsection{\tt TCOLLECT}\index{TCOLLECT} {\tt TCOLLECT} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TCOLLECT} linéarise cette expression en fonction de $\sin(n.x)$ et $\cos(n.x)$ puis rassemble {\tt en mode réel} les sinus et les cosinus de m\^eme angle.\\ On tape :\\ $${\tt TCOLLECT(SIN(X)+COS(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \sqrt2.COS(X-\frac{\pi}{4})}$$ \subsection{\tt ACOS2S}\index{ACOS2S} {\tt ACOS2S} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt ACOS2S} transforme cette expression en remplaçant $\arccos(x)$ par $\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)$.\\ On tape :\\ $${\tt ACOS2S(ACOS(X)+ASIN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{\pi}{2}}$$ \subsection{\tt ASIN2C}\index{ASIN2C} {\tt ASIN2C} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt ASIN2C} transforme cette expression en remplaçant $\arcsin(x)$ par $\frac{\pi}{2}-\arccos(x)$.\\ On tape :\\ $${\tt ASIN2C(ACOS(X)+ASIN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{\pi}{2}}$$ \subsection{\tt ASIN2T}\index{ASIN2T} {\tt ASIN2T} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt ASIN2T} transforme cette expression en remplaçant $\arcsin(x)$ par $\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})$.\\ On tape :\\ $${\tt ASIN2T(ASIN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt ATAN(\frac{X}{\sqrt{1-X^2}})}$$ \subsection{\tt ATAN2S}\index{ATAN2S} {\tt ATAN2S} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt ATAN2S} transforme cette expression en remplaçant :\\ $\arctan(x)$ par $\arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$.\\ On tape :\\ $${\tt ATAN2S(ATAN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt ASIN(\frac{X}{\sqrt{X^2+1}})}$$ \subsection{\tt SINCOS}\index{SINCOS} {\tt SINCOS} a comme argument une expression contenant des exponentielles complexes.\\ {\tt SINCOS} transforme cette expression en fonction de $\sin(x)$ et de $\cos(x)$.\\ On tape :\\ $${\tt SINCOS(EXP(i.X))}$$ On obtient :\\ $${\tt COS(X)+i.SIN(X)}$$ \subsection{\tt TAN2SC}\index{TAN2SC} {\tt TAN2SC} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TAN2SC} transforme cette expression en remplaçant $\tan(x)$ par $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.\\ On tape :\\ $${\tt TAN2SC(TAN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{SIN(X)}{COS(X)}}$$ \subsection{\tt TAN2SC2}\index{TAN2SC2} {\tt TAN2SC2} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TAN2SC2} transforme cette expression en remplaçant $\tan(x)$ par $\frac{\sin(2.x)}{1+\cos(2.x)}$ (ou par $\frac{1-\cos(2.x)}{\sin(2.x)}$ si l'on préfère les sinus c'est à dire quand {\tt Prefer sin()} du flag 116 est coché cf \ref{sec:flag}).\\ On tape :\\ $${\tt TAN2SC2(TAN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{SIN(2.X)}{1+COS(2.X)}}$$ \subsection{\tt HALFTAN}\index{HALFTAN} {\tt HALFTAN} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt HALFTAN} transforme les $\sin(x) \cos(x)$ et $ \tan(x)$ contenus dans l'expression en fonction de $\tan(\frac{x}{2})$.\\ On tape :\\ $${\tt HALFTAN(\frac{SIN(2.X)}{1+COS(2.X)})}$$ On obtient après simplification :\\ $${\tt TAN(X)}$$ On tape :\\ $${\tt HALFTAN( SIN(X)^2+COS(X)^2)}$$ On obtient (${\tt SQ(X)= X^2}$):\\ $${\tt {\left(\frac{2.TAN(\frac{X}{2})}{SQ(TAN(\frac{X}{2}))+1}\right)}^2+ {\left(\frac{1-SQ(TAN(\frac{X}{2}))}{SQ(TAN(\frac{X}{2}))+1}\right)}^2 }$$ On obtient après simplification:\\ $${\tt 1}$$ \subsection{\tt TRIG}\index{TRIG} {\tt TRIG} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TRIG} simplifie cette expression à l'aide de $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$.\\ On tape :\\ $${\tt TRIG(SIN(X)^2+COS(X)^2+1)}$$ On obtient :\\ $${\tt 2}$$ \subsection{\tt TRIGSIN}\index{TRIGSIN} {\tt TRIGSIN} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TRIGSIN} simplifie cette expression à l'aide de $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ en privilégiant les sinus.\\ On tape :\\ $${\tt TRIGSIN(SIN(X)^4+COS(X)^2+1)}$$ On obtient :\\ $${\tt SIN(X)^4-SIN(X)^2+2}$$ \subsection{\tt TRIGCOS}\index{TRIGCOS} {\tt TRIGCOS} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TRIGCOS} simplifie cette expression à l'aide de $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ en privilégiant les cosinus.\\ On tape :\\ $${\tt TRIGCOS(SIN(X)^4+COS(X)^2+1)}$$ On obtient :\\ $${\tt COS(X)^4-COS(X)^2+2}$$ \subsection{\tt TRIGTAN}\index{TRIGTAN} {\tt TRIGTAN} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt TRIGTAN} simplifie cette expression à l'aide de $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ en privilégiant les tangentes.\\ On tape :\\ $${\tt TRIGTAN(SIN(X)^4+COS(X)^2+1)}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{2.TAN(X)^4+3.TAN(X)^2+2}{TAN(X)^4+2.TAN(X)^2+1}}$$ \subsection{\tt FOURIER}\index{FOURIER}\label{sec:fourier} {\tt FOURIER} a deux paramètres : une expression $f(x)$ et un entier $n$.\\ {\tt FOURIER} renvoie le coefficient de Fourier $c_n$ de $f(x)$ considérée comme une fonction définie sur $[0,T]$ et périodique de période $T$ ($T$ etant égale au contenu de la variable {\tt PERIOD}).\\ On a si $f$ est continue par morceaux : $$f(x)=\sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^\frac{2inx\pi}{T}$$ Exemple : Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction $f$ périodique de période $2.\pi$ et définie sur $[0\ 2.\pi[$ par $ f(x)=x^2$.\\ On tape : $${\tt 2.\pi\ \ STO\triangleright \ PERIOD}$$ $${\tt FOURIER(X^2,N)}$$ On obtient après simplification : $${\tt \frac{2.i.N.\pi+2}{N^2}}$$ Donc si $n \neq 0$ on a : $$c_n=\frac{2.i.N.\pi+2}{N^2}$$ Puis on tape : $${\tt FOURIER(X^2,0)}$$ On obtient : $${\tt \frac{4.{\pi}^2}{3} }$$ Donc si $n= 0$ on a : $$c_0=\frac{4.{\pi}^2}{3}$$ \section{Les Exponentielles et les Logarithmes} \subsection{\tt EXPLN}\index{EXPLN} {\tt EXPLN} a comme argument une expression trigonométrique.\\ {\tt EXPLN} transforme les fonctions trigonométriques en exponentielles et logarithmes {\sc sans} linéariser.\\ {\tt EXPLN} fait passer en {\tt mode complexe}.\\ On tape :\\ $${\tt EXPLN(SIN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt \frac{EXP(i.X)-\frac{1}{EXP(i.X)}}{2.i}}$$ \subsection{\tt LIN}\index{LIN} {\tt LIN} a comme argument une expression contenant des exponentielles et des fonctions trigonométriques.\\ {\tt LIN} linéarise cette expression (l'exprime en fonction de $\exp(n.x)$).\\ {\tt LIN} fait passer en {\tt mode complexe} quand il y a des fonctions trigonométriques.\\ Exemple 1 :\\ On tape :\\ $${\tt LIN((SIN(X))}$$ On obtient :\\ $${\tt -(\frac{i}{2}.EXP(i.X))+\frac{i}{2}.EXP(-(i.X))}$$ Exemple 2 :\\ On tape :\\ $${\tt LIN((COS(X)^2)}$$ On obtient :\\ $${\tt -(\frac{1}{4}.EXP(2.i.X))+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}.EXP(-(2.i.X))}$$ Exemple 3 :\\ On tape :\\ $${\tt LIN((EXP(X)+1)^3)}$$ On obtient :\\ $${\tt 3.EXP(X)+1+3.EXP(2.X)+EXP3.X)}$$ \subsection{\tt LNCOLLECT}\index{LNCOLLECT} {\tt LNCOLLECT} a comme argument une expression contenant des logarithmes.\\ {\tt LNCOLLECT} regroupe les termes en logarithmes. Il est donc préférable de l'utiliser sur une expression factorisée (en utilisant {\tt FACTOR}).\\ On tape :\\ $${\tt LNCOLLECT(LN(X+1)+LN(X-1))}$$ On obtient :\\ $${\tt LN((X+1)(X-1))}$$ \subsection{\tt TSIMP}\index{TSIMP} {\tt TSIMP} simplifie toutes les expressions en les transformant en exponentielles complexes (fait passer en {\tt mode complexe}) puis en réduisant le nombre de variable au sens de {\tt LVAR} (cf \ref{sec:lvar}).\\ On n'utilise {\tt TSIMP} qu'en dernier ressort.\\ On tape :\\ $${\tt TSIMP(\frac{SIN(3.X)+SIN(7.X)}{SIN(5.X)})}$$ On obtient après simplification (en recopiant 2 fois le résultat) :\\ $${\tt \frac{EXP(i.X)^4+1}{EXP(i.X)^2}}$$ \section{Les polyn\^omes} \subsection{\tt GCD}\index{GCD} {\tt GCD} désigne le pgcd (plus grand commun diviseur) de deux polyn\^omes (ou de deux listes de polyn\^omes de m\^eme longueur).\\ On tape : $${\tt GCD(X^2+2 \cdot X+1 ,X^2-1 )}$$ On obtient : $${\tt X+1 }$$ On tape : $${\tt GCD(\{X^2+2 \cdot X+1,X^3-1\} ,\{X^2-1,X^2+X-2 \})}$$ On obtient : $${\tt \{ X+1, X-1 \} }$$ \subsection{\tt LGCD}\index{LGCD} {\tt LGCD} désigne le pgcd (plus grand commun diviseur) d'une liste de polyn\^omes.\\ {\tt LGCD} renvoie une liste constituée par la liste des polyn\^omes d'entr\'ee, et le {\tt PGCD} des polyn\^omes de cette liste.\\ On tape : $${\tt LGCD(\{X^2+2 \cdot X+1,X^3+1 ,X^2-1,X^2+X \})}$$ On obtient : $${\tt \{\{X^2+2 \cdot X+1,X^3+1 ,X^2-1,X^2+X \}\ ,\ X+1 \}}$$ \subsection{\tt SIMP2} {\tt SIMP2} a comme paramètre deux polyn\^omes (ou deux listes de polyn\^omes de m\^eme longueur). Ces deux polyn\^omes sont considèrés comme représentant une fraction rationnelle.\\ {\tt SIMP2} renvoie la fraction rationnelle simplifiée sous la forme d'une liste de deux polyn\^omes.\\ On tape : $${\tt SIMP2(X^3-1,X^2-1) }$$ On obtient : $${\tt \{X^2+X+1,X+1\}}$$ \subsection{\tt LCM}\index{LCM} {\tt LCM} désigne le ppcm (plus petit commun multiple) de deux polyn\^omes (ou de deux listes de polyn\^omes de m\^eme longueur).\\ On tape : $${\tt LCM(X^2+2 \cdot X+1 ,X^2-1 )}$$ On obtient : $${\tt (X^2+2 \cdot X+1) \cdot (X-1)}$$ \subsection{\tt FACTOR}\index{FACTOR} {\tt FACTOR} a pour argument un polyn\^ome ou une liste de polyn\^omes.\\ {\tt FACTOR} factorise le polyn\^ome ou la liste de polyn\^omes.\\ On tape : $${\tt FACTOR(X^2+2\cdot X+1)}$$ On obtient : $${\tt (X+1)^2}$$ On tape : $${\tt FACTOR(X^4-2.X^2+1)}$$ On obtient : $${\tt (X-1)^2.(X+1) ^2}$$ On tape : $${\tt FACTOR(\{X^3-2.X^2+1,X^2-X\})}$$ On obtient : $${\tt \{\frac{(X-1).(2.X+-1+\sqrt5).(2.X-(1+\sqrt5))}{4}\ ,\ X(X-1)\}}$$ \subsection{\tt FACTORS}\index{FACTORS} {\tt FACTORS} a pour argument un polyn\^ome ou une liste de polyn\^omes.\\ {\tt FACTORS } donne la liste des facteurs du polyn\^ome avec leur multiplicité.\\ On tape : $${\tt FACTORS(X^2+2 \cdot X+1)}$$ On obtient : $${\tt \{X+1,2\}}$$ On tape : $${\tt FACTORS(X^4-2.X^2+1)}$$ On obtient : $${\tt \{X-1,2.\ ,\ X+1 ,2.\}}$$ On tape : $${\tt FACTORS(\{X^3-2.X^2+1,X^2-X\})}$$ On obtient : $${\tt \{\{X-1,1.\ ,\ 2.X+-1+\sqrt5 ,1.\ ,\ 2.X-(1+\sqrt5) ,1.\ ,\ 4, -1.\},}$$ $${\tt \{X, 1.\ ,\ X-1,1.\}\}}$$ \subsection{\tt DIVIS}\index{DIVIS} {\tt DIVIS} a pour argument un polyn\^ome (ou une liste de polyn\^omes de m\^eme longueur) et renvoie la liste des diviseurs.\\ On tape : $${\tt DIVIS(X^4-1)}$$ On obtient : $${\tt \{1,X^2+1,X-1,X^3-X^2+X-1,X+1,X^3+X^2+X+1,X^2-1,X^4-1\}}$$ \subsection{\tt QUOT}\index{QUOT} {\tt QUOT} donne le quotient de deux polyn\^omes dans la division selon les puissances d\'ecroissantes.\\ On tape : $${\tt QUOT(X^2+2\cdot X +1 ,X )}$$ On obtient : $${\tt X+2}$$ \subsection{\tt REMAINDER}\index{REMAINDER} {\tt REMAINDER} donne le reste de la division de deux polyn\^omes (division selon les puissances d\'ecroissantes).\\ On tape : $${\tt REMAINDER(X^3-1 ,X^2-1 )}$$ On obtient : $${\tt X-1}$$ \subsection{\tt DIV2}\index{DIV2} Donne la liste, du quotient et du reste de la division selon les puissances d\'ecroissantes de deux polyn\^omes.\\ On tape : $${\tt DIV2(X^2+2\cdot X+1 ,X )}$$ On obtient : $${\tt \{X+2,1\}}$$ Le mode pas \`a pas est ici int\'eressant car il donne les restes successifs... \subsection{\tt EGCD}\index{EGCD} Il s'agit de l'identit\'e de B\'ezout (Extended Greatest Common Divisor). ${\tt EGCD(A[X],B[X] )}$ renvoie ${\tt \{ D[X],U[X],V[X] \}}$ avec D,U,V v\'erifiant : $${\tt {D[X]=U[X]*A[X]+V[X]*B[X]}}$$ On tape : $${\tt EGCD(X^2+2 \cdot X+1 ,X^2-1 )}$$ On obtient : $${\tt \{2 \cdot X+2,1,-1\}}$$ \subsection{\tt ABCUV}\index{ABCUV} Il s'agit encore de l'identit\'e de B\'ezout. Les paramètres sont trois polyn\^omes, A, B, C (C doit \^etre un multiple du PGCD(A,B)): \\ ${\tt ABCUV(A[X],B[X],C[X])}$ renvoie ${\tt \{ U[X],V[X] \}}$ avec U,V v\'erifiant : $${\tt {C[X]=U[X]*A[X]+V[X]*B[X]}}$$ On tape : $${\tt ABCUV(X^2+2 \cdot X+1 ,X^2-1,X+1 )}$$ On obtient : $${\tt \{\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\}}$$ On tape : $${\tt ABCUV(X^2+2 \cdot X+1 ,X^2-1,X^3+1 )}$$ On obtient : $${\tt \{ \frac{X^2-X+1}{2},-\frac{X^2-X+1}{2}\}}$$ \subsection{\tt HORNER}\index{HORNER} {\tt HORNER} a deux param\`etres : un polyn\^ome $P[X]$ et un nombre $a$, et renvoie une liste compos\'ee du polyn\^ome $Q[X]$ (quotient de $P[X]$ par $X-a$), de $a$ et de $P[a]$.\\ On tape : $${\tt HORNER(X^4+2.X^3-3.X^2+X-2,1)}$$ On obtient : $${\tt \{X^3+3.X^2+1\ ,\ 1\ ,\ -1 \}}$$ \subsection{\tt PTAYL}\index{PTAYL} Il s'agit d'\'ecrire un polyn\^ome $P[X]$ selon les puissances de $X-a$.\\ {\tt PTAYL} a deux param\`etres : un polyn\^ome P et un nombre $a$.\\ On tape : $${\tt PTAYL(X^2+2\cdot X +1 , 2)}$$ On obtient le polyn\^ome Q[X]: $${\tt X^2+6\cdot X +9 }$$ Attention, on a : $${\tt P(X)=Q(X-2)}$$ \subsection{\tt ZEROS}\index{ZEROS} {\tt ZEROS} a deux param\`etres : un polyn\^ome P et le nom de la variable.\\ {\tt ZEROS} renvoie la liste des z\'eros {\sc sans} leur multiplicit\'e.\\ On tape : $${\tt ZEROS(X^4-1,X)}$$ On obtient :\\ -en mode r\'eel $${\tt \{-1\ ,\ 1\}}$$ -en mode complexe $${\tt \{ -1\ ,\ 1\ ,\ -i\ ,\ i\}}$$ \subsection{\tt PROOT}\index{PROOT} {\tt PROOT} est la commande numérique de la HP48.\\ {\tt PROOT} a comme argument un vecteur de composantes les coefficients d'un polyn\^ome (par ordre d\'ecroissant).\\ {\tt PROOT} renvoie un vecteur de composantes les racines du polyn\^ome.\\ Pour chercher les racines de $P[x]=x^5-2.x^4+x^3$, on tape : $${\tt PROOT([1,-2,1,0,0,0]) }$$ On obtient : $${\tt [0.,0.,0.,1.,1.]}$$ ce qui signifie que : $0$ est racine triple et $1$ est racine double de $P[x]$. \subsection{\tt FROOTS}\index{FROOTS} {\tt FROOTS} a comme argument une fraction rationnelle $F[x]$.\\ {\tt FROOTS} renvoie un vecteur de composantes les racines et les p\^oles de $F[x]$ suivis de leur multiplicit\'e.\\ On tape : $${\tt FROOTS(\frac{X^5-2.X^4+X^3}{X-2}) }$$ On obtient : $${\tt [2,-1.,0,3.,1,2.]}$$ ce qui signifie que : $2$ est un p\^ole d'ordre 1, $0$ est racine triple et $1$ est racine double de $F[x]=\frac{x^5-2.x^4+x^3}{x-2}$. \subsection{\tt PCOEF}\index{PCOEF} {\tt PCOEF} est la commande numérique de la HP48.\\ {\tt PCOEF} a comme argument, un vecteur de composantes les racines d'un polyn\^ome $P[x]$.\\ {\tt PCOEF} renvoie un vecteur de composantes, les coefficients du polyn\^ome unitaire $P[x]$ (par ordre d\'ecroissant).\\ On tape : $${\tt PCOEF([1,2,0,0,3])}$$ On obtient : $${\tt [1.,-6.,11.,-6.,0.,0.]}$$ c'est \`a dire le d\'eveloppement du polyn\^ome $P[x]= (x-1).(x-2).x.x.(x-3)$ :\\$x^5-6.x^4+11.x^3-6.x^2$. \subsection{\tt FCOEF}\index{FCOEF} {\tt FCOEF} a comme argument un vecteur de composantes les racines et les p\^oles d'une fraction rationnelle $F[x]$ suivis de leur multiplicit\'e.\\ {\tt FCOEF} renvoie la fraction rationnelle $F[x]$.\\ On tape : $${\tt FCOEF([1,2,0,3,2,-1]) }$$ On obtient : $${\tt \frac{X^5-2.X^4+X^3}{X-2}}$$ puisque $(x-1)^2.x^3=x^5-2.x^4+x^3$ \subsection{\tt CHINREM}\index{CHINREM} {\tt CHINREM} a comme argument deux vecteurs ayant chacun comme composantes deux polyn\^omes.\\ {\tt CHINREM} renvoie un vecteur de composantes deux polyn\^omes.\\ {\tt CHINREM([A[X],R[X]],[B[X],Q[X]])} désigne les polyn\^omes {\tt P[X]} et {\tt S[X]} vérifiant :\\ {\tt S[X]=R[X].Q[X]},\\ {\tt P[X]=A[X] (mod R[X])} et {\tt P[X]=B[X] (mod Q[X])}. \\ Il existe toujours une solution {\tt P[X]} si {\tt R[X]} et {\tt Q[X]} sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont congrues modulo {\tt S[X]=R[X].Q[X]} \\ Trouver les solutions $P[X]$ de : $${\tt \left \{ \begin{array}{rl} P[X]=&X\ (\bmod\ X^2+1)\\ P[X]=&X-1\ (\bmod\ X^2-1) \end{array}\right.}$$ On tape : $${\tt CHINREM([X,X^2+1],[X-1,X^2-1])}$$ On obtient : $${\tt [-\frac{X^2-2.X+1}{2},-\frac{X^4-1}{2}]}$$ donc $P[X]=-\frac{X^2-2.X+1}{2} \ (\bmod-\frac{X^4-1}{2})$ \subsection{\tt TRUNC}\index{TRUNC} {\tt TRUNC} permet de tronquer un polyn\^ome à un ordre donné (utile quand on fait des développements limités).\\ {\tt TRUNC} a deux arguments : un polyn\^ome et $ X^n$.\\ {\tt TRUNC} renvoie le polyn\^ome tronqué à l'ordre $n-1$ (pas de termes $\geq$ à $X^n$).\\ On tape : $${\tt TRUNC({(1+X+\frac{1}{2}.X^2)}^3\ ,\ X^4)}$$ On obtient : $${\tt 4.X^3+\frac{9}{2}.X^2+3.X+1}$$ \subsection{\tt LAGRANGE}\index{LAGRANGE} {\tt LAGRANGE} a comme argument une matrice de deux lignes et $n$ colonnes :\\ la premi\`ere ligne correspond à des valeurs d'abscisses $x_i$, et la deuxième ligne correspond à des valeurs d'ordonnés $y_i$ ($i=1..n$).\\ {\tt LAGRANGE} renvoie le polyn\^ome $P$ de degré $n-1$ tel que $P(x_i)=y_i$.\\ On tape : $${\tt LAGRANGE([[1,3],[0,1]])}$$ On obtient : $${\tt \frac{X-1}{2}}$$ en effet $\frac{x-1}{2}=0 $ pour $x=1$ et $\frac{x-1}{2}=1$ pour $x=3$ \subsection{\tt LEGENDRE}\index{LEGENDRE} {\tt LEGENDRE} a comme argument un entier $n$.\\ {\tt LEGENDRE} renvoie le polyn\^ome non nul solution de l'équation différentielle : $$(x^2-1).y''-2.x.y'-n(n+1).y=0$$ On tape : $${\tt LEGENDRE(4)}$$ On obtient : $${\tt \frac{35.X^4-30.X^2+3}{8}}$$ \subsection{\tt HERMITE}\index{HERMITE} {\tt HERMITE} a comme argument un entier $n$.\\ {\tt HERMITE} renvoie le polyn\^ome de HERMITE de degré $n$.\\ On tape : $${\tt HERMITE(6)}$$ On obtient : $${\tt 64.X^6-480.X^4+720.X^2-120}$$ \subsection{\tt TCHEBYCHEFF}\index{TCHEBYCHEFF} {\tt TCHEBYCHEFF} a comme argument un entier $n$.\\ Si $n>0$, {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome $T_n$ tel que :\\ $$T_n[x]= \cos(n.\arccos(x))$$\\ Si $n<0$ {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome de Tchebycheff de seconde espèce :\\ $$T_n[x]=\frac{\sin(n.\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}$$\\ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(4)}$$ On obtient : $${\tt 8.X^4-8.X^2+1}$$ en effet :\\ $\cos( 4.x)=Re((\cos(x)+i.\sin(x))^4)$\\ $\cos( 4.x)=\cos(x)^4-6.\cos(x)^2.(1-\cos(x)^2)+((1-\cos(x)^2)^2$.\\ $\cos(4.x)=T_4(\cos(x))$.\\ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(-4)}$$ On obtient : $${\tt 8.X^3-4.X}$$ en effet :\\ $\sin(4.x)=\sin(x).(8.\cos(x)^3-4.\cos(x))$. \subsection{\tt REORDER}\index{REORDER} {\tt REORDER} a deux paramètres : une expression et un vecteur contenant les noms des variables dans un certain ordre.\\ {\tt REORDER} développe l'expression selon l'ordre des variables donné dans le second paramètre.\\ On tape : $${\tt REORDER(X^2+2.X.A+A^2+Z^2-X.Z,[A,X,Z])}$$ On obtient : $${\tt A^2+2.X.A+X^2-Z.X+Z^2}$$ \section{Les fractions rationnelles } \subsection{\tt FXND}\index{FXND} {\tt FXND} a comme argument une fraction rationnelle et renvoie la liste form\'ee par le num\'erateur et le d\'enominateur de cette fraction simplifi\'ee.\\ On tape : $${\tt FXND(\frac{X^2-1}{X-1}) }$$ On obtient : $${\tt \{X+1,1\}}$$ \subsection{\tt SIMP2}\index{SIMP2} {\tt SIMP2} a comme paramètre deux polyn\^omes (ou deux listes de polyn\^omes de m\^eme longueur). Ces deux polyn\^omes sont considérés comme représentant une fraction rationnelle. \\ {\tt SIMP2} renvoie la fraction rationnelle simplifiée sous la forme d'une liste de deux polyn\^omes. \\ On tape : $${\tt SIMP2(X^3-1,X^2-1) }$$ On obtient : $${\tt \{X^2+X+1,X+1\}}$$ \subsection{\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC} {\tt PROPFRAC} a comme argument une fraction rationnelle.\\ {\tt PROPFRAC} renvoie cette fraction rationnelle \'ecrite de mani\`ere \`a mettre en \'evidence sa partie enti\`ere.\\ ${\tt PROPFRAC(A(X) / B(X))}$ écrit la fraction rationnelle $\frac{A[X]}{B[X]}$ sous la forme :$$Q[X]+\frac{R[X]}{B[X]}$$\ \ avec \ $R[X]=0$ ou \ $0\leq deg(R[X])< deg(B[X])$.\\ On tape : $${\tt PROPFRAC(\frac{(5.X+3).(X-1)}{X+2})}$$ On obtient : $${\tt 5.X-12+\frac{21}{X+2}}$$ \subsection{\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC} D\'ecomposer en \'eléments simples la fraction rationnelle : $$\frac{x^5-2 \times x^3+1}{x^4-2\times x^3+2\times x^2-2\times x+1}$$ On utilise la commande {\tt PARTFRAC}.\\ Cette commande se trouve dans le menu {\tt ARITH (shift-bleu 1)} sous menu {\tt 2.POLYNOMIAL...} en position 14 (ou on l'\'ecrit en mode $\alpha$).\\ On tape : $${\tt PARTFRAC(\frac{X^5-2*X^3+1}{X^4-2*X^3+2*X^2-2*X+1})}$$ On obtient en mode réel: $${\tt X+2+\frac{\frac{-1}{2}}{X-1}+\frac{\frac{X-3}{2}}{X^2+1} }$$ On obtient en mode complexe : $${\tt X+2+\frac{\frac{1-3.i}{4}}{X+i}+\frac{\frac{-1}{2}}{X-1}+\frac{\frac{1+3.i}{4}}{X-i} }$$ \section{Le calcul modulaire } On peut faire des calculs modulo {\tt p} c'est à dire dans $Z/pZ$ ou dans $Z/pZ[X]$.\\ Attention, pour certaines commandes il faut choisir un nombre {\tt p} premier.\\ La représentation choisie est la représentation symétrique (-1 au lieu de 6 modulo 7).\\ Il faut mettre dans la variable {\tt MODULO}, du répertoire {\tt HOME}, la valeur de {\tt p}.\\ {\sc Dans la suite les exemples seront tra\^ités avec {\tt p=13}} \subsection{\tt MODSTO}\index{MODSTO} Pour mettre dans {\tt MODULO} la valeur de {\tt p} (par exemple {\tt p=13}) on peut utiliser :\\ {\tt MODE cas MODULO ...} ou {\tt 13 STO MODULO} (si on est dans {\tt HOME}) ou encore {\tt MODSTO(13)}.\\ {\tt MODSTO} permet de changer la valeur de la variable {\tt MODULO} du répertoire {\tt HOME}.\\ On taperait par exemple : ${\tt MODSTO(5)}$ ou ${\tt 5\ STO\ MODULO}$ pour faire des calculs modulo 5.\\ {\sc Dans la suite les exemples seront tra\^ités avec {\tt p=13}} \subsection{\tt ADDTMOD}\index{ADDTMOD} {\tt ADDTMOD} réalise une addition dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt ADDTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 6X-2}$$ \subsection{\tt SUBTMOD}\index{SUBTMOD} {\tt SUBTMOD} réalise une soustraction dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt SUBTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 3X-1}$$ \subsection{\tt MULTMOD}\index{MULTMOD} {\tt MULTMOD} réalise une multiplication dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt MULTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt -(3X^2-2X-4)}$$ \subsection{\tt DIV2MOD }\index{DIV2MOD } Les arguments sont deux polyn\^omes $ A[X]$ et $ B[X]$. Le résultat est la liste du quotient et du reste de la division euclidienne de $ A[X]$ par $ B[X]$ dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt DI2VMOD(X^3+X^2+1,2X^2+4)}$$ puisque $$X^3+X^2+1=(2X^2+4) . (\frac{X+1}{2})+\frac{5X-4}{4}$$ On obtient : $${\tt \{ \frac{X+1}{2} \ ,\ \frac{5X-4}{4}\}} $$ puis $${\tt EXPANDMOD( \{ \frac{X+1}{2} \ , \ \frac{5X-4}{4}\})}$$ on obtient : $${\tt \{-(6X+6)\ ,\ -(2X+1)\}}$$ \subsection{\tt DIVMOD}\index{DIVMOD} Les arguments sont deux polyn\^omes $ A[X]$ et $ B[X]$. Le résultat est la fraction rationnelle $ \frac{A[X]}{B[X]}$ simplifiée dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt DIVMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt \frac{5X+3}{6X+6}} $$ \subsection{\tt POWMOD}\index{POWMOD} {\tt POWMOD(X,N)} calcule {\tt X} \`a la puissance {\tt N} dans $Z/pZ[X]$.\\ Le contenu ${\tt p}$ de {\tt MODULO} doit \^etre un nombre premier inf\'erieur \`a 100.\\ On tape : $${\tt POWMOD(2X+1,5)}$$ On obtient : $${\tt 6.X^5+2.X^4+2.X^3+X^2-3.X+1}$$ car :\\ $10=-3 \ (\bmod\ 13) \ \ 40=1\ (\bmod\ 13)\ \ 80=2 \ (\bmod\ 13)\ \ 32=6\ (\bmod\ 13)$. \subsection{\tt INVMOD}\index{INVMOD} {\tt INVMOD} a comme argument un entier.\\ {\tt INVMOD} calcule l'inverse de cet entier dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt INVMOD(5)}$$ On obtient (car $5\times-5=-25=1\ (\bmod\ 13)$) : $${\tt -5}$$ \subsection{\tt GCDMOD}\index{GCDMOD} {\tt GCDMOD} a deux polyn\^omes comme arguments.\\ {\tt GCDMOD} calcule le PGCD des deux polyn\^omes dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt GCDMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt -(4X-5)}$$ \subsection{\tt EXPANDMOD}\index{EXPANDMOD} {\tt EXPANDMOD} a comme argument une expression polynomiale.\\ {\tt EXPANDMOD} développe cette expression dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt EXPANDMOD(( 2X^2+12).( 5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -(3X^3-5X^2+5X-4)}$$ \subsection{\tt FACTORMOD}\index{FACTORMOD} {\tt FACTORMOD} a comme argument un polyn\^ome.\\ {\tt FACTORMOD} factorise ce polyn\^ome dans $ Z/pZ[X]$ à condition que l'on ait ${\tt p \leq 97}$ et $p$ premier.\\ On tape : $${\tt FACTORMOD(-(3X^3-5X^2+5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -((3X-5)(X^2+6))}$$ \subsection{\tt RREFMOD}\index{RREFMOD} {\tt RREFMOD} permet de résoudre un système d'équations linéaires de la forme $AX=B$ dans $Z/pZ$.\\ L'argument est une matrice formée par A bordée avec B comme dernier vecteur colonne. Le résultat est une matrice formée de A1 et de B1 o\`u A1 a des zéros de part et d'autre de la diagonale et le système $A1X=B1$ est équivalent à $AX=B$.\\ On tape : $${\tt RREFMOD([[1, 2, 9][3,10,0]])}$$ pour résoudre $$\left \{\begin{array}{lcr}\ \ x\ +\ \ 2 \cdot y & = &9 \\3 \cdot x +10 \cdot y & =& 0 \end{array}\right.$$ On obtient : $${\tt \left [ \begin{array}{rrr}2 & 0 & 6\\0 & 4 & -1 \end{array} \right]}$$ ce qui veut dire que ${\tt 2.X=6} $ et ${\tt 4.Y=-1}$ ou encore ${\tt X=3 \ \ Y=3}$ (puisque $-4*3=1 \ (\bmod 13)$). \section{Développements limit\'es et asymptotiques } \subsection{\tt DIVPC}\index{DIVPC} {\tt DIVPC} a trois arguments : deux polyn\^omes ${\tt A(X),\ B(X)}$ ( avec ${\tt B(0) \neq 0}$) et un entier ${\tt n}$.\\ {\tt DIVPC} renvoie le quotient ${\tt Q(X)}$ de la division de ${\tt A(X)}$ par ${\tt B(X)}$ selon les puissances croissantes avec deg${\tt (Q )\leq n}$ ou ${\tt Q=0}$. \\ $Q[X]$ est donc le d\'eveloppement limit\'e d'ordre $n$ de $\frac{A[X]}{B[X]}$ au voisinage de $X=0$. \\ On tape : $${\tt DIVPC(1+X^2+X^3,1+X^2,5)}$$ On obtient : $${\tt 1+X^3-X^5}$$ Attention : la machine demande a passer en ``puissances croissantes'', r\'epondre {\tt yes}. \subsection{\tt TAYLOR0}\index{TAYLOR0} {\tt TAYLOR0} a un seul argument : la fonction de $x$ à développer, et renvoie son développement limité à l'ordre relatif 4 au voisinage de $x=0$ (si $x$ est la variable courante).\\ On tape : $${\tt TAYLOR0(\frac{TAN(P.X)-SIN(P.X)}{TAN(Q.X)-SIN(Q.X)}) }$$ On obtient : $${\tt \frac{P^5-Q^2 \cdot P^3}{4 \cdot Q^3}.X^2+\frac{P^3}{Q^3}}$$ Attention : l'ordre 4 veut dire que l'on d\'eveloppe \`a l'ordre relatif 4 le num\'erateur et le d\'enominateur (ici ordre absolu 5 pour le num\'erateur et le d\'enominateur, ce qui donne en fin de compte, un ordre 2 (5-3) puisque la valuation du d\'enominateur est égale à 3 ). \subsection{\tt TAYLR }\index{TAYLR } Donner un developpement limit\'e d'ordre 2 au voisinage de x=0 de : $$ \frac{3\times \tan(x)-\tan(3\times x)}{x\times (1-\cos(3\times x))}$$ Le d\'enominateur etant d'ordre 3, pour obtenir un developpement limit\'e d'ordre 2 au voisinage de $x=0$, il faut faire un d\'eveloppement d'ordre 5 au voisinage de $x=0$ du num\'erateur.\\ On utilise la commande {\tt TAYLR} que l'on trouve dans le menu de {\tt CALC \ (shift-bleu 4)} sous menu {\tt 2. LIMITS \& SER...} en position 5 (ou on le tape en mode $\alpha$).\\ {\tt TAYLR} est compatible avec la HP48.\\ On tape : $${\tt TAYLR( \frac{3 \cdot TAN(X)-TAN(3 \cdot X)}{X \cdot (1-COS(3 \cdot X))} , X , 5)}$$ On obtient : $${\tt -\frac{16}{9} \cdot (1+\frac{19}{4} \cdot X^2) }$$ \subsection{\tt SERIES}\index{SERIES} \begin{itemize} \item développement au voisinage de {\tt x=a}\\ Exemple :\\ Donner un développement limit\'e \`a l'ordre 4 au voisinage de $x=\frac{\pi}{6}$ de $\cos(2\times x)^2$. On utilise la commande {\tt SERIES} que l'on trouve dans le menu de {\tt CALC \ (shift-bleu 4)} en position 8 (ou on le tape en mode $\alpha$) . On tape : $${\tt SERIES( COS(2 \cdot X)^2 , X=\frac{\pi}{6} , 4 )}$$ On obtient : $${\tt \{ \{Limit: \frac{1}{4} \ \ Equiv: \frac{1}{4} }$$ $${\tt Expans: \ (- \frac {8}{3}h^4+\frac {8 \sqrt {3}}{3}h^3+2h^2- \sqrt 3 h+ \frac{1}{4}})$$ $${\tt Remain: \ \frac {h^5}{4} \} \ h=X- \frac{ \pi}{6}\}}$$ \item développement au voisinage de {\tt x=+$\infty$} ou {\tt x=-$\infty$}\\ Exemple 1 :\\ Donner un développement de $\arctan(x)$ à l'ordre 5 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES(ATAN(X),X=+\infty,5)}$$ On obtient : $${\tt \{ \{Limit: \frac{\pi}{2} \ Equiv: \frac{\pi}{2}}$$ $${\tt Expans:\ (\frac{\pi}{2}-h+\frac{h^3}{3}-\frac{h^5}{5})\ Remain: \frac{\pi h^6}{2}\}\ h=\frac{1}{X}\}}$$ Exemple 2 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1}$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=+\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt \{ \{Limit: +\infty \ Equiv: \frac{2}{h}}$$ $${\tt Expans:\ (\frac{2+h+2h^2+\frac{17h^3}{6}}{h})\ Remain: 2h^3\}\ h=\frac{1}{X}\}}$$ Exemple 3 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1})$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=-$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=-\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=-\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt \{ \{Limit: -\infty \ Equiv: -\frac{2}{h}}$$ $${\tt Expans:\ (\frac{-2+h-2h^2+\frac{17h^3}{6}}{h})\ Remain: -2h^3\}\ h=-\frac{1}{X}\}}$$ \item développement unidirectionnel\\ Il faut utiliser pour l'ordre un réel positif (par exemple 4.) pour faire un developpement au voisinage de $x=a$ avec $ \ x>a$ et un réel négatif (par exemple -4.) pour faire un developpement au voisinage de $x=a$ avec $ \ x0$ est à prendre en compte (pour $x<0$ la calculatrice considère une fonction $\ln$ à valeurs complexes). \item b) $u(x)=0$ possède une solution unique $\alpha$ dans $[2,\ 3]$ .\\ D'apr\`es a) $u$ est croissante sur $]0,\ +\infty[$.\\ On tape : $${\tt U(2)\ shift-rouge\ ENTER}$$ réponse $-0.306...$\\ puis, $${\tt U(3)\ shift-rouge \ ENTER}$$ réponse $1.098...$\\ On calcule ensuite : $${\tt U(2.20)\ shift-rouge\ ENTER}$$ réponse $-0.306...$\\ et $${\tt U(2.21)\ shift-rouge \ ENTER}$$ réponse $-0.306...$\\ D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires (u est croissante et continue sur [2, 3], u s'annule une seule fois entre 2 et 3 ($u(2)<0$ et $u(3)>0$)).\\ Donc, si on appelle $\alpha$ l'unique solution de $u$ dans $[2,\ 3]$, on a : $$2.20< \alpha <2.21$$ puisque $u(2.20)<0$ et $u(2.21)>0$. \item c) Signe de $u(x)$ sur $]0, \ +\infty[$\\ Le signe de $u(x)$ se déduit du tableau de variation de $u$ on a : $$\left \{ \begin{array} {rl} u(x)<0 &\mbox{ pour } x<\alpha\\ u(x)=0 & \mbox{ pour } x=\alpha\\ u(x)>0 & \mbox{ pour } x>\alpha \end{array}\right.$$ \end{itemize} \item \begin{itemize} \item a)Variations de $f$.\\ On fait le tableau de variations à la main car la dérivée de $f$ n'est pas rationnelle...et la calculatrice ne sait pas encore faire!\\ Le signe de $f'(x)$ étant celui de $u(x)$ on a : $$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline f'(x) & 0 & - & \alpha & + & +\infty\\ \hline f(x) & +\infty & \downarrow & \frac{\alpha-1}{\alpha}(ln( \alpha)-2) & \uparrow & +\infty\\ \hline \end{array}$$ \item b)$f(\alpha)=-\frac{[\alpha-1)^2}{\alpha}$\\ On a :\\$u(\alpha)=0$ donc $\ln(\alpha)=3-\alpha$\\ On tape dans l'EQuationWriter : $${\tt (1-\frac{1}{ A})(LN(A)-2)}$$ puis\\ on met en inverse vidéo ${\tt LN(A)}$,\\ on ouvre le menu {\tt ALG (shift-rouge 4)},\\ on sélectionne le $ {\tt N°6 \ (SUBST)}$,\\ on complète la commande ${\tt\ SUBST(LN(A),LN(A)=3-A)}$\\ puis, {\tt ENTER ENTER}\\ On obtient : $${\tt -\frac{A^2-2 \cdot A+1}{A}}$$ puis, $${\tt FACTOR (-\frac{A^2-2 \cdot A+1}{A})}$$ donne $${\tt -\frac{(A-1)^2}{A}}$$ On tape : $${\tt DERIV( -\frac{(A-1)^2}{A},A)}$$ on obtient : $${\tt -\frac{(A^2-1)}{A^2}} $$ La fonction $v(x)= -\frac{(x-1)^2}{x}$ est donc décroissante pour $x>1$.\\ L'encadrement de $f(\alpha)$ s'obtient donc en calculant :\\ $v(2.21)$ et $v(2.20)$.\\ On tape : $${\tt -\frac{(1.21)^2}{2.21}\ shift-rouge\ ENTER} $$ réponse $-0.662488 $\\ $${\tt -\frac{(1.2)^2}{2.2}\ shift-rouge\ ENTER}$$ réponse $-0.65454... $\\ on a donc :$$-0.663 EVAL 'A' STO} \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Pour entrer une variable locale {\tt A}, on tape :\\ ${\tt ....0\ \rightarrow \ A \ll\ PROMPTSTO('A')... \gg}$ ou\\ $ {\tt....0\ \rightarrow \ A \ll \ PROMPTSTO('A');0\ \rightarrow \ B \ll PROMPTSTO('B').....\gg \ \gg}$\\ Si on tape seulement:\\ {\tt ...PROMPTSTO('A')} alors {\tt A} est une variable globale ou\\ {\tt ...PROMPTSTO('A'); PROMPTSTO('B')}, alors {\tt A} et {\tt B} sont des variables globales.\\ On peut aussi utiliser {\tt INPUT}\index{INPUT} pour créer une variable locale {\tt A} on utilise, si {\tt A} doit contenir une chaine de caractères : $${\tt INPUT(''A='',''\ '')\ \rightarrow\ A}$$ ou si {\tt A} doit contenir un nombre :\\ ${\tt .....INPUT(''A='',''\ '')\rightarrow A}$\\ ${\tt \ll OBJ\rightarrow(A)\ \rightarrow\ A}$\\ ${\tt \ll .....\gg }$\\ ${\tt \gg }$ \section{Les Sorties} \subsection{Traduction en Algorithmique} En algorithmique on écrit:\\ {\tt Afficher "A=",A} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} En général on affiche simplement les résultats sur la pile pour une réutilisation éventuelle, on écrira simplement :\\ {\tt A B}\\ On peut aussi afficher le résultat tagué, on écrira alors:\\ {\tt A "A=" ->TAG}\\ {\tt HALT} arr\^ete le programme. \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Seul le dernier résultat s'inscrit dans l'historique.\\ Pour des résultats intermédiaires on tape : $$ {\tt DISP("A="+A,3)}$$\index{DISP} 3 représente le numéro de la ligne\\ ou\\ $${\tt MSGBOX( "A="+\rightarrow STR(A))}$$\index{MSGBOX} {\tt CLEAR} efface l'écran.\index{CLEAR}\\ {\tt FREEZE(7)} arrête le programme et permet de visualiser les 7 lignes de l'affichage.\index{FREEZE} \section{La séquence d'instructions ou action} Une action est une séquence d'une ou plusieurs instructions. \subsection{Traduction en Algorithmique} En langage algorithmique, on utilisera l'espace ou le passage à la ligne pour terminer une instruction. \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Comme en algorithmique, il n'y a pas de séparateur: on utilise soit l'espace soit le retour à la ligne. \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Pour la {\tt HP49G} en mode algébrique, le {\tt\ ;\ } est un séparateur d' instructions.\\ Le {\tt\ ;\ } s'obtient en tapant simultanément {\tt shift-rouge SPC}. \section{L'instruction d'affectation} L'affectation est utilisée pour stocker une valeur ou une expression dans une variable. \subsection{Traduction en Algorithmique} En algorithmique on écrira par exemple:\\ {\tt 2*A->B} pour stocker {\tt 2*A} dans {\tt B} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Avec la HP49G mode RPN, il faut utiliser la notation postfixée et la commande {\tt STO}:\\ {\tt 2 A * 'B' STO} \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Pour la {\tt HP49G} en mode algébrique, on utilise la touche ${\tt STO}$ qui se traduit à l'écran de la calculatrice par : $ \triangleright $ (on le notera ici, ${\tt STO\triangleright}$). \section{Les instructions conditionnelles} \subsection{Traduction en Algorithmique} {\tt Si \emph{condition} alors \emph{action} fsi}\\ {\tt Si \emph{condition} alors \emph{action1} sinon \emph{action2} fsi}\\ Exemple :\\ {\tt Si A = 10 ou A < B alors B-A->B sinon A-B->A fsi} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} {\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action} END} {\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action1} ELSE \emph{action2} END} Attention : on utilise la notation postfixée et == pour traduire la condition d'égalité. On écrit pour traduire l'exemple: {\tt IF A 10 == A B < OR THEN B A - 'B' STO ELSE A B - 'A' STO END} on peut aussi écrire {\tt IF 'A==10' 'A < B' OR THEN ...} \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} {\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action} END}\\ {\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action1} ELSE \emph{action2} END}\\ Exemple : Attention au == pour traduire la condition d'égalité!\\ {\tt IF A == 10 OR A < B THEN B-A STO$\triangleright$ B ELSE A-B STO$\triangleright$ A END} \section{Les instructions Pour } \subsection{Traduction en Algorithmique} {\tt Pour I de A à B faire \emph{action} fpour}\\ {\tt Pour I de A à B (pas P) faire \emph{action} fpour} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} {\tt A B FOR I \emph{action} NEXT} {\tt A B FOR I P STEP \emph{action} NEXT} \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} {\tt FOR (I , A , B) \emph{action} NEXT} {\tt FOR (I , A , B ) \emph{action} STEP P}\\ Il n'y a pas besoin de déclarer la variable {\tt I}.\\ {\tt I} est déclaré et initialisé automatiquement par : {\tt FOR (I,.,.)...} \section{L'instruction Tant que} \subsection{Traduction en Algorithmique} {\tt Tant que \emph{condition} faire \emph{action} ftantque} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} {\tt WHILE \emph{condition} REPEAT \emph{action} END} \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} {\tt WHILE \emph{condition} REPEAT \emph{action} END} \section{Les conditions ou expressions booléennes } Une condition est une fonction qui a comme valeur un booléen, à savoir elle est soit {\tt vraie} soit {\tt fausse}. \subsection{Traduction en Algorithmique} Pour exprimer une condition simple on utilise les opérateurs: {\tt = > > $\leq$ $\geq$ $\neq$} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Attention, on utilise la notation postfixée et == pour traduire la condition d'égalité. \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique } Attention, pour la calculatrice {\tt HP49G}, l'égalité se traduit par: {\tt ==} \section{Les opérateurs logiques} \subsection{Traduction en Algorithmique} Pour traduire des conditions complexes, on utilise les opérateurs logiques : {\tt ou et non} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Attention, on utilise la notation postfixée.\\ {\tt ou et non} se traduisent par {\tt OR AND NOT } \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} {\tt ou et non} se traduisent sur la {\tt HP49G} par {\tt OR AND NOT } \section{Les fonctions} Dans une fonction on ne fait pas de saisie de données :\\ on utilise des paramètres qui seront initialisés lors de l'appel.\\ Dans une fonction, on veut pouvoir réutiliser le résultat :\\ on n'utilise pas la commande {\tt affichage} mais la commande {\tt résultat}. \subsection{Traduction en Algorithmique} On écrit par exemple, en algorithmique : \begin{verbatim} fonction addition(A,B) résultat A+B ffonction\end{verbatim} Cela signifie que : -Si on fait exécuter la fonction, le résultat sera affiché. -On peut utiliser la fonction dans une expression. \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Pour la HP49G mode RPN, on suppose que les arguments de la fonction sont mis sur la pile avant l'appel de la fonction. Dans l'écriture de la fonction les arguments sont des variables locales qui seront initialisées par les éléments mis sur la pile. Le résultat de la fonction est alors mis sur la pile.\\ L'exemple se traduit par :\\ ${\tt \ll \rightarrow\ A\ B}$\\ ${\tt \ \ \ll\ A\ B\ +\ \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ {\tt 'ADDITION' STO}\\ puis on met les valeurs de A et B au niveau 2 et 1 de la pile, après l'exécution d'{\tt ADDITION} leur somme se trouvera au niveau 1 de la pile. \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} L'exemple se traduit par : ${\tt \ll \rightarrow\ A\ B} $\\ ${\tt \ \ \ll A +B \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ ${\tt STO\triangleright\ ADDITION}$\\ Puis, on tape : $${\tt ADDITION(4,5)}$$ \section{Les listes} \subsection{Traduction en Algorithmique} En algorithmique, on utilise les \{ \} pour délimiter une liste.\\ Par exemple \{\} désigne la liste vide et \{1, 2, 3\} est une liste de 3 éléments.\\ Le + sera utilis\'e pour concaténer 2 listes ou une liste et un élément ou un élément et une liste :\\ {\tt \{1, 2, 3\}->TAB}\\ {\tt TAB + 4 ->TAB} (maintenant {\tt TAB} désigne \{1, 2, 3, 4\}) \\ {\tt TAB[2]} désigne le deuxième élément de {\tt TAB} ici 2. \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Ici les listes peuvent avoir des longueurs non définies à l'avance.\\ On utilise les \{\} pour délimiter une liste.\\ Par exemple \{1 2 3\} est une liste de 3 éléments et \{\} désigne la liste vide.\\ On obtient le {\tt P}ième élément de {\tt L } sur la pile avec :\\ {\tt L P GET} ou {\tt 'L' P GET}\\ Si on veut modifier le {\tt P}ième élément de {\tt L} (par exemple le mettre à 0) on écrira:\\ {\tt 'L' P 0 PUT} ou {\tt L P 0 PUT 'L' STO}\\ En effet {\tt L P 0 PUT} renvoie sur la pile la liste modifiée alors que :\\ {\tt 'L' P 0 PUT} modifie la liste {\tt L} .\\ Pour concaténer deux listes ou une liste et un élément on utilisera le + \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Pour la {\tt HP49G} en mode algébrique, les listes peuvent avoir des longueurs non définies à l'avance.\\ On utilise les \{\} pour délimiter une liste.\\ Par exemple \{1,2,3\} est une liste de 3 éléments et \{\} désigne la liste vide.\\ On obtient le {\tt P}ième élément de {\tt L } sur la pile avec :\\ {\tt L[P]} ou {\tt GET (L, P )}\index{GET}\\ Si on veut modifier le {\tt P}ième élément de {\tt L} (par exemple le mettre à 0) on écrira :\\ {\tt PUT(L, P, 0) STO$\triangleright$ L }\index{PUT}\\ ou\\ {\tt PUT('L', P, 0)}\\ En effet {\tt PUT(L, P, 0) } renvoie la liste modifiée (sans modifier {\tt L}) alors que :\\ {\tt PUT ('L', P, 0) } modifie la liste {\tt L}.\\ Pour concaténer deux listes ou une liste et un élément on utilisera le {\tt +}.\\ La commande {\tt SEQ}\index{SEQ} permet de constituer une liste, on tape : $${\tt SEQ('X*X','X',4,10,1)}$$ on obtient : $${\tt \{16,25,36,49,64,81,100\}}$$ \section{Un exemple : le crible d'Eratosthéne} \subsection{Déscription} Pour trouver les nombres premiers inférieurs ou égaux à $N$ : \begin{enumerate} \item On écrit les nombres de 1 à $N$ dans une liste. \item On barre 1 et on met 2 dans la case $P$. Si $P . P \leq N$ il faut traiter les éléments de $P$ à $N$. \item On barre tous les multiples de $P$ à partir de $P . P$. \item On augmente $P$ de 1 Si $P. P$ est inférieur ou égal à $N$, il reste à traiter les éléments non barrés de $P$ à $N$. \item On appelle $P$ le plus petit élément non barré de la liste. \item On refait les points 3 4 5 tant que $P . P$ reste inférieur ou égal à $N$. \end{enumerate} \subsection{Ecriture de l'algorithme} \begin{verbatim} Fonction crible(N) local TAB PREM I P // TAB et PREM sont des listes {} ->TAB {} ->PREM pour I de 2 à N faire TAB+I -> TAB fpour 0 +TAB -> TAB 2 -> P // On a fait les points 1 et 2 //barrer 1 a été réalisé en le remplaçant par 0 //TAB est la liste 0 2 3 4 ...N \end{verbatim} {\tt tant que P*P $\leq$ N faire}\begin{verbatim} pour I de P à int(N/P) faire 0 -> TAB[I*P] fpour // On a barré tous les multiples de P à partir de P*P P+1 -> P //On cherche le plus petit nombre <= N non barré entre P et N \end{verbatim} {\tt {\ } tant que (P*P $\leq$ N) et (TAB[P]=0) faire} \begin{verbatim} P+1 -> P ftantque ftantque //on écrit le résultat dans une liste PREM pour I de 2 à N faire\end{verbatim} {\tt {\ } si TAB[I] $\neq$ 0 alors} \begin{verbatim} PREM +I -> PREM fsi fpour résultat: PREM \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} Voici le programme CRIBLE: N est le paramètre qui doit \^etre mis sur la pile. Les variables locales sont: P et I qui sont des entiers , TA et PREM qui sont des listes.\\ %%HP: T(3)A(R)F(.); ${\tt \ll \ \{\}\ \{\}\ 2\ 1\ \rightarrow\ N \ TA\ PREM\ P\ I }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll\ 0\ 'X'\ 'X'\ 2\ N\ 1\ SEQ\ +\ 'TA'\ STO}$\\ \hspace*{1cm}{\tt WHILE P P * N $\leq$ REPEAT \\ \hspace*{1.5cm} P N P / FLOOR FOR I \\ \hspace*{2cm} TA I P * 0 PUT 'TA' STO\\ \hspace*{1.5cm} NEXT\\ \hspace*{1.5cm} 1 'P' STO+\\ \hspace*{1.5cm} WHILE P P * N $\leq$ TA P GET 0 == AND REPEAT \\ \hspace*{2cm} 1 'P' STO+\\ \hspace*{1.5cm} END\\ \hspace*{1cm} END \\ \hspace*{1cm} 2 N FOR I\\ \hspace*{1.5cm} IF TA I GET 0 $\neq$ THEN\\ \hspace*{2cm} I 'PREM' STO+\\ \hspace*{1.5cm} END\\ \hspace*{1cm} NEXT \\ \hspace*{1cm} PREM} \\ \hspace*{.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg}$ \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Voici le programme CRIBLE écrit pour la {\tt HP49G mode Algébrique} : L'utilisateur doit taper par exemple :\\ {\tt CRIBLE(100)}.\\ \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ N \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll}${\tt\ 0+SEQ('I','I',1,N,1) $\rightarrow$ TA}\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll \ 2\ \rightarrow\ P}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \ll WHILE\ P*P \leq N\ REPEAT}$\\ \hspace*{2cm}{\tt FOR (I , P , FLOOR(N/P))}\\ \hspace*{2.5cm}{\tt PUT('TA',I*P,0)}\\ \hspace*{2cm}{\tt NEXT;}\\ \hspace*{2cm} ${\tt P+1\ STO\triangleright P;}$\\ \hspace*{2cm}{\tt WHILE P*P $\leq $ N AND GET(TA,P) == 0 REPEAT}\\ \hspace*{2.5cm} ${\tt P+1\ STO \triangleright \ P}$\\ \hspace*{2cm}{\tt END}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt END;}\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \{2\} \ \rightarrow\ PREM}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \ll FOR\ (I,3 , N) }$\\ \hspace*{2.5cm}{\tt {\ }IF TA(I) $\neq$ 0 THEN}\\ \hspace*{3cm} $ {\tt PREM+I \ STO\triangleright PREM;}$\\ \hspace*{2.5cm} {\tt END}\\ \hspace*{2cm}{\tt NEXT;}\\ \hspace*{2cm}{\tt PREM }\\ \hspace*{2cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ CRIBLE}$ \chapter{Programmes d'arithmétique} \section{Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide} Cet algorithme est basé sur la définition récursive du PGCD : \begin{eqnarray*} PGCD(A,0) & = & A \\ PGCD(A,B) & = & PGCD(B,A \ mod \ B) \ si \ B \neq 0 \end{eqnarray*} Voici la description de cet algorithme :\\ on effectue des divisions euclidiennes successives : \begin{eqnarray*} A=& B \times Q_1+R_1 & 0 \leq R_1 < B \\ B=& R_1 \times Q_2+R_2 & 0 \leq R_2 < R_1 \\ R_1=& R_2 \times Q_3+R_3 & 0 \leq R_3 < R_2 \\ ....... \end{eqnarray*} Après un nombre fini d'étapes, il existe un entier n tel que : $R_n = 0.$ \\ on a alors :\\ $PGCD(A,B)= PGCD(B,R_1) =...$\\ $PGCD(R_{n-1},R_n) = PGCD(R_{n-1},0) = R_{n-1}$ \subsection{Traduction algorithmique} -Version itérative\\ Si B $\neq$ 0 on calcule R=A mod B, puis avec B dans le r\^ole de A (en mettant B dans A ) et R dans le r\^ole de B ( en mettant R dans B) on recommence jusqu'à ce que B=0, le PGCD est alors A. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B) Local R\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R B->A R->B ftantque résultat A ffonction \end{verbatim} -Version récursive\\ On écrit simplement la définition récursive vue plus haut. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B)\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 alors}\begin{verbatim} résultat PGCD(B,A mod B) sinon résultat A fsi ffonction\end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} -Version itérative\\ ${\tt \ll \ 0 \rightarrow\ A\ B\ R}$ \\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll WHILE\ B\ 0 \ \neq REPEAT}$\\ \hspace*{1.5cm}{\tt A B MOD 'R' STO}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt B 'A' STO}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt R 'B' STO}\\ \hspace*{1cm}{\tt END}\\ \hspace*{1cm}{\tt A}\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ -Version récursive\\ ${\tt \ll \ 0 \rightarrow\ A\ B\ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll IF\ B\ 0\ \neq\ THEN}$\\ \hspace*{1.5cm}{\tt B A B MOD PGCDR}\\ \hspace*{1cm}{\tt ELSE}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt A}\\ \hspace*{1cm}{\tt END}\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ Puis on stocke ce programme dans la variable 'PGCDR'. \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} On tape :\\ -version itérative\\ \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ A,B \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll 0\ \rightarrow\ R}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll \ WHILE \ B\ \neq \ 0 \ REPEAT}$\\ \hspace*{2cm}${\tt A\ MOD \ B \ STO \triangleright R;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt B \ STO \triangleright A;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt R \ STO \triangleright B}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt A}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ PGCD}$\\ Puis par exemple, {\tt PGCD(45,75)} pour l'exécuter.\\ -version récursive\\ \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ A,B \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll IF \ B \ \neq \ 0\ THEN}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt PGCDR(B,A\ MOD \ B)}$\\ \hspace*{1cm}${\tt ELSE }$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt A}$\\ \hspace*{1cm}${\tt END}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ PGCDR}$\\ Puis par exemple, {\tt PGCDR(45,75)} pour l'exécuter.\\ Remarque :\\ Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt PGCD} (ou {\tt PGCDR}) peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss. \section{Identité de Bézout par l'algorithme d'Euclide} Dans ce paragraphe la fonction Bezout(A,B) est égale à la liste \{U, V, PGCD(A,B)\} o\`u U et V vérifient : $ A \times U + B \times V = PGCD(A,B). $ \subsection{Version it\'erative sans les listes} L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple U et V vérifiant :\\ $ A \times U + B \times V= PGCD(A,B) $\\ En effet, si on note $ A_0$ et$ B_0 $ les valeurs de A et de B du début on a : \begin{eqnarray*} A & =A_0 \times U+B_0 \times V \ \mbox{ avec }\ U=1 \ \mbox{ et }\ V=0 \\ B & =A_0 \times W+B_0 \times X \ \mbox{ avec }\ W=0 \ \mbox{ et } \ X=1 \end{eqnarray*} Puis on fait évoluer A, B, U, V, W, X de façon que les deux relations ci-dessus soient toujours verifiées.\\ Si :\\ $ A=B \times Q+R \ \ \ 0 \leq R < B \ \ ( R = A \ mod \ B \ et \ Q = E(A / B )) $\\ On écrit alors : \begin{eqnarray*} R=A-B \times Q=A_0 \times (U-W \times Q)+B_0 \times (V-X \times Q)=\\ A_0 \times S+B_0 \times T \ \mbox{ avec } \ S=U-W \times Q \ \mbox{ et } \ T=V-X \times Q \end{eqnarray*} Il reste alors à recommencer avec B dans le r\^ole de A (B->A\ W->U \ X->V) et R dans le r\^ole de B (R->B \ S->W \ T->X ) d'o\`u l'algorithme: \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local U,V,W,X,S,T,Q,R 1->U 0->V 0->W 1->X\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R E(A/B)->Q //R=A-B*Q U-W*Q->S V-X*Q->T B->A W->U X->V R->B S->W T->X ftantque résultat {U, V, A} ffonction \end{verbatim} \subsection{Version it\'erative avec les listes} On peut simplifier l'écriture de l'algorithme ci-dessus en utilisant moins de variables : pour cela on utilise des listes LA LB LR pour mémoriser les triplets \{U, V, A\} \{W, X, B\} et \{S, T, R\}. \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LA LB LR {1, 0, A}->LA {0, 1, B}->LB\end{verbatim} {\tt tant que LB[3] $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} LA-LB*E(LA[3]/LB[3])->LR LB->LA LR->LB ftantque résultat LA ffonction \end{verbatim} \subsection{Version récursive avec les listes} On peut définir récursivement la fonction Bezout par: $ Bezout(A,0)=\{1,\ 0,\ A\} $ Si $ B \neq 0 $ il faut définir $ Bezout(A,B)$ en fonction de $ Bezout(B,R)$ lorsque $ R=A-B \times Q \ \mbox{ et } \ Q=E(A/B).$ On a: \begin{eqnarray*} Bezout(B,R)=LT=\{W, X, pgcd(B,R)\} \\ \mbox{ avec }\ W \times B+X \times R=pgcd(B,R) \end{eqnarray*} Donc: \begin{eqnarray*} W \times B+X \times (A-B \times Q) & = & pgcd(B,R) \ \mbox{ ou encore} \\ X \times A+(W-X \times Q) \times B & = & pgcd(A,B). \end{eqnarray*} D'o\`u si $B \neq 0$ et si $ Bezout(B,R)=LT$ on a : $ Bezout(A,B)=\{LT[2],\ LT[1]-LT[2] \times Q,\ LT[3]\}.$\\ \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LT Q R\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} E(A/B)->Q A-B*Q->R Bezout(B,R)->LT Résultat {LT[2], LT[1]-LT[2]*Q, LT[3]} sinon Résultat {1, 0, A} fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} -Version itérative avec les listes Au début A et B contiennent les deux nombres pour lesquels on cherche l'identité de Bézout, puis A et B désignent les listes LA et LB de l'algorithme.\\ %%HP: T(3)A(R)F(.); ${\tt \ll \{\}\ \rightarrow\ A\ B\ R}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll \{1\ 0\}\ 'A'\ STO+}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \{0\ 1\}\ 'B'\ STO+}$\\ \hspace*{1cm}${\tt WHILE\ B\ 3\ GET\ 0\ \neq\ REPEAT}$\\ \hspace*{1.5cm}{\tt A B A 3 GET B 3 GET / FLOOR * - 'R' STO}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt B 'A' STO}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt R 'B' STO}\\ \hspace*{1cm}{\tt END}\\ \hspace*{1cm}{\tt A}\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ -Version récursive avec les listes\\ %%HP: T(3)A(R)F(.); ${\tt \ll \{\}\ \rightarrow\ A\ B\ T}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll IF\ B\ 0\ \neq THEN}$\\ \hspace*{1.5cm}{\tt B A B MOD BEZOUR 'T' STO}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt T 2 GET DUP A B / FLOOR *}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt T 1 GET SWAP -}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt T 3 GET {} + + +}\\ \hspace*{1cm}{\tt ELSE}\\ \hspace*{1.5cm}{\tt \{1 0\} A +}\\ \hspace*{1cm}{\tt END}\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ Puis on stocke ce programme dans la variable BEZOUR \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} -Version itérative avec les listes Au début A et B contiennent les deux nombres pour lesquels on cherche l'identité de Bézout, puis A et B désignent les listes LA et LB de l'algorithme.\\ \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ A,B \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll \{\}\ \rightarrow\ R}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll \{1,0,A\}\ STO \triangleright \ A;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \{0,1,B\}\ STO \triangleright \ B;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt WHILE \ B[3]\ \neq \ 0 \ REPEAT}$\\ \hspace*{2cm}${\tt A-B*FLOOR(A[3]/B[3])\ STO \triangleright \ R;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt B\ STO \triangleright \ A;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt R\ STO \triangleright \ B}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt A}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ BEZOUT}$\\ Puis par exemple, {\tt BEZOUT(45,75)} pour l'exécuter.\\ -Version récursive avec les listes\\ \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ A,B \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll \{\}\ \rightarrow\ T}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll IF \ B \ \neq \ 0 \ THEN}$\\ \hspace*{2cm}${\tt BEZOUR(B,A \ MOD \ B)\ STO \triangleright \ T;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \{T[2],T[1]-T[2]*FLOOR(A/B),T[3]\}}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt ELSE}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \{1,0,A\}}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ BEZOUR}$\\ Puis par exemple, {\tt BEZOUR(45,75)} pour l'exécuter.\\ {\sc Remarque} :\\ Si on utilise la fonction de calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} et {\tt IQUOT(A,B)} à la place de {\tt FLOOR(A/B)} dans les programmes précédents, {\tt BEZOUT} peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss. \section{D\'ecomposition en facteurs premiers} \subsection{Les algorithmes et leurs traductions} -Premier algorithme\\ On teste, pour tous les nombres D de 2 à N, la divisibilité de N par D.\\ Si D divise N, on cherche alors les diviseurs de N/D etc...\\ On met les diviseurs trouvés dans la liste FACT. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que N $\neq$ 1 faire} \begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D -> N sinon D+1 -> D fsi ftantque résultat FACT ffonction \end{verbatim} - Première amélioration\\ On ne teste que les diviseurs D entre 2 et $E(\sqrt N).$ \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D-> N sinon D+1 -> D fsi ftantque FACT + N -> FACT résultat FACT ffonction \end{verbatim} -Deuxième amélioration\\ On cherche si 2 divise N, puis on teste les diviseurs impairs D entre 3 et $E(\sqrt N).$\\ Dans la liste FACT, on fait suivre chaque diviseur par son exposant :\\ decomp(12)=\{2,2,3,1\}. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local K D FACT {}->FACT 0 -> K tant que N mod 2 = 0 faire K+1 -> K N/2 -> N ftantque\end{verbatim} {\tt si K $\neq$0 alors} \begin{verbatim} FACT + {2 K} -> FACT fsi 3 ->D \end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} 0 -> K tant que N mod D = 0 faire K+1 -> K N/D -> N ftantque\end{verbatim} {\tt \ \ si K $\neq$0 alors} \begin{verbatim} FACT + {D K} -> FACT fsi D+2 -> D ftantque\end{verbatim} {\tt si N $ \neq 1$ alors} \begin{verbatim}FACT + {N 1} -> FACT fsi résultat FACT ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} %%HP: T(1)A(R)F(.); Voici la traduction de la deuxième amélioration :\\ ${\tt \ll 0\ 3\ \{\}\ \rightarrow\ N\ K\ D\ FACT}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll\ WHILE\ N\ 2\ MOD\ 0\ ==\ REPEAT}$\\ \hspace*{1.5cm} {\tt 1 'K' STO+ \\ \hspace*{1.5cm} 'N' 2 STO/\\ \hspace*{1cm} END\\ \hspace*{1cm} IF K 0 $\neq$ THEN\\ \hspace*{1.5cm} \{2 K\} 'FACT' STO\\ \hspace*{1cm} END\\ \hspace*{1cm} WHILE N D D * $\geq$ REPEAT\\ \hspace*{1.5cm} 0 'K' STO \\ \hspace*{1.5cm} WHILE N D MOD 0 == REPEAT\\ \hspace*{2cm} 1 'K' STO+\\ \hspace*{2cm} 'N' D STO/\\ \hspace*{1.5cm} END \\ \hspace*{1.5cm} IF K 0 $\neq$ THEN\\ \hspace*{2cm} \{D K\} 'FACT' STO+\\ \hspace*{1.5cm} END \\ \hspace*{1.5cm} 2 'D' STO+\\ \hspace*{1cm} END\\ \hspace*{1cm} IF N 1 $\neq$ THEN\\ \hspace*{1.5cm} \{N 1\} 'FACT' STO+\\ \hspace*{1cm} END}\\ ${\tt \ \ \ \gg}$\\ ${\tt \gg}$ \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ N \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll 0 \ \rightarrow\ K}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll WHILE \ N\ MOD\ 2 \ ==\ 0 \ REPEAT}$\\ \hspace*{2cm}${\tt K+1 \ STO \triangleright \ K;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt N/2\ STO \triangleright \ N}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \{\} \ \rightarrow\ FACTO}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \ll IF \ K \neq \ 0\ THEN}$\\ \hspace*{3cm}${\tt FACTO+\{2,K\} \ STO \triangleright \ FACTO}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt 3 \ \rightarrow\ D}$\\ \hspace*{3cm}${\tt \ll WHILE\ D*D \leq N \ REPEAT}$\\ \hspace*{4cm}${\tt 0 \ STO \triangleright \ K;}$\\ \hspace*{4cm}${\tt WHILE\ N \ MOD \ D\ == 0 \ REPEAT}$\\ \hspace*{4.5cm}${\tt K+1 \ STO \triangleright \ K;}$\\ \hspace*{4.5cm}${\tt N/D \ STO \triangleright \ N;}$\\ \hspace*{4cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{4cm}${\tt IF \ K \neq \ 0\ THEN}$\\ \hspace*{4.5cm}${\tt FACTO+\{D,K\} \ STO \triangleright \ FACTO}$\\ \hspace*{4cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{4cm}${\tt D+2 \ STO \triangleright \ D}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt IF \ N \neq \ 1\ THEN}$\\ \hspace*{4cm}${\tt FACTO+\{N,1\} \ STO \triangleright \ FACTO}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt FACTO;}$\\ \hspace*{3cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ FACTEUR}$\\ Puis par exemple, {\tt FACTEUR(45)} pour l'exécuter.\\ \section{Calcul de $ A^P \ mod\ N$}\label{sec:puimod} \subsection{Traduction Algorithmique} -Premier algorithme\\ On utilise deux variables locales PUIS et I.\\ On fait un programme itératif de façon qu'à chaque étape PUIS représente $A^I \ (\bmod \ N)$. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUIS, I 1->PUIS pour I de 1 a P faire A*PUIS mod N ->PUIS fpour resultat PUIS ffonction \end{verbatim} -Deuxième algorithme\\ On utilise une seule variable locale PUI mais on fait varier P de façon qu'à chaque étape de l'itération on ait :\\ $ resultat= PUI * A^P \ (\bmod \ N) $ \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire A*PUI mod N ->PUI P-1->P ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} -Troisième algorithme\\ On peut aisément modifier ce programme en remarquant que :\\ $A^{2*P} = (A*A)^P $.\\ Donc quand P est pair on a la relation :\\ $PUI*A^P = PUI*(A*A)^{P/2} \ (\bmod \ N)$\\ et quand P est impair on a la relation :\\ $PUI*A^P = PUI*A*A^{P-1}\ (\bmod \ N)$.\\ On obtient alors un algorithme rapide de $ A^P \ (\bmod \ N) $. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =0 alors P/2->P A*A mod N->A sinon A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} On peut remarquer que si P est impair P-1 est pair.\\ On peut donc écrire : \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =1 alors A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi P/2->P A*A mod N->A ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} -Programme récursif\\ On peut définir la puissance par les relations de récurrence :\\ $A^0=1\ \ A^{P+1} \ (\bmod \ N) =(A^P \ (\bmod\ N))*A \ (\bmod \ N)$ \begin{verbatim} fonction puimod(A, P, N) si P>0 alors resultat puimod(A, P-1, N)*A mod N sinon resultat 1 fsi ffonction \end{verbatim} -Programme récursif rapide \begin{verbatim} fonction puimod(A, P, N) si P>0 alors si P mod 2 =0 alors resultat puimod(A*A, P/2, N) sinon resultat puimod(A, P-1, N)*A mod N fsi sinon resultat 1 fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} L'utilisateur doit mettre sur la pile :\\ A, P, N pour obtenir $A^P mod\ N$.\\ Voici la traduction de l'algorithme rapide itératif :\\ ${\tt \ll\ 1\ \rightarrow\ A\ P\ N\ PUI }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll \ WHILE\ P\ 0\ >\ REPEAT}$\\ \hspace*{1.5cm} {\tt IF P 2 MOD 1 == THEN\\ \hspace*{2cm} A PUI * N MOD 'PUI' STO\\ \hspace*{2cm} 'P' STO- \\ \hspace*{1.5cm} END\\ \hspace*{1.5cm} P 2 / 'P' STO\\ \hspace*{1.5cm} A A * N MOD 'A' STO\\ \hspace*{1cm} END\\ \hspace*{1cm} PUI}\\ ${\tt \ \ \ \gg}$\\ ${\tt \gg}$ Puis on stocke ce programme dans PUIMOD ('PUIMOD' STO) \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} Voici la traduction de l'algorithme rapide itératif :\\ ${\tt \ll \ \rightarrow\ A\ P\ N \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll 1 \ \rightarrow\ PUI}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll WHILE \ P > 0 \ REPEAT}$\\ \hspace*{2cm}${\tt IF \ P\ MOD\ 2\ == 1\ THEN}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt A*PUI\ MOD\ N \ STO \triangleright \ PUI}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt P-1 \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt P/2 \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt A*A \ MOD \ N \ STO \triangleright \ A;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt PUI}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ PUIMOD}$\\ Puis par exemple, {\tt PUIMOD(45,32,13)} pour l'exécuter.\\ \section{La fonction estpremier} \subsection{Traduction Algorithmique} - Premier algorithme On va écrire un fonction booléenne de paramètre N, qui sera egale à VRAI quand N est premier et à FAUX sinon. Pour cela, on cherche si N posséde un diviseur $\neq$ 1 et $\leq$ à $ E(\sqrt{N})$ (partie entière de racine de N). On traite le cas N=1 à part! On utilise une variable booléenne PREM, qui est au départ à VRAI et qui passe à FAUX d\`es que l'on rencontre un diviseur de N. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} {\tt E($\sqrt{N}$) ->J} \begin{verbatim}Si N = 1 alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 2->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+1->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} -Première amélioration On peut remarquer que l'on peut tester si N est pair et sinon regarder si N possède un diviseur impair. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} {\tt E($\sqrt{N}$) ->J \\ Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) et N$\neq$2 alors}\begin{verbatim} FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 3->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+2->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} -Deuxième amélioration On regarde si N est divisible par 2 ou par 3, et sinon on regarde si N posséde un diviseur de la forme $6 \times k-1 $ ou $6 \times k+1 $. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} {\tt E($\sqrt{N}$) ->J} \begin{verbatim}Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) ou ( N mod 3 = 0) alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi si N=2 ou N=3 alors VRAI->PREM fsi 5->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si (N mod I = 0) ou (N mod I+2 =0) alors FAUX->PREM sinon I+6->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} On traduit le dernier algorithme : le résultat est 0 (FAUX) ou 1 (VRAI).\\ ${\tt \ll\ DUP\ \sqrt{\ }\ FLOOR\ 0\ 5\ \rightarrow\ N\ J\ PREM\ I}$\\ ${\tt \ \ \ll\ IF\ N\ 1\ ==\ N\ 2\ MOD\ 0\ ==\ OR\ N\ 3\ MOD\ 0\ ==\ OR\ THEN}$\\ \hspace*{1cm}{\tt 0 'PREM' STO\\ \hspace*{0.5cm} ELSE\\ \hspace*{1cm} 1 'PREM' STO\\ \hspace*{0.5cm} END\\ \hspace*{0.5cm} IF N 2 == N 3 == OR THEN\\ \hspace*{1cm} 1 'PREM' STO\\ \hspace*{0.5cm} END\\ \hspace*{0.5cm} WHILE PREM I J $\leq$ AND REPEAT\\ \hspace*{1cm} IF N I MOD 0 == N I 2 + MOD 0 == OR THEN\\ \hspace*{1.5cm} 0 'PREM' STO\\ \hspace*{1cm} ELSE \\ \hspace*{1.5cm} I 6 + 'I' STO\\ \hspace*{1cm} END\\ \hspace*{0.5cm}END\\ \hspace*{0.5cm}PREM}\\ ${\tt \ \ \gg}$\\ ${\tt \gg}$ \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ N \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll 0 \ \rightarrow\ P}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll IF \ N\ MOD\ 2\ == 0\ OR \ N\ MOD\ 3\ == 0\ OR \ N==1 THEN}$\\ \hspace*{2cm}${\tt 0 \ STO \triangleright \ P}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt ELSE;}$\\ \hspace*{2cm}${\tt 1 \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt IF \ N == 2\ OR \ N == 3\ THEN}$\\ \hspace*{2cm}${\tt 1 \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt FLOOR( \sqrt N ) \ \rightarrow\ J}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \ll 5 \ \rightarrow\ I}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt \ll WHILE \ I \leq J \ AND\ P \ REPEAT}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt IF \ N\ MOD\ I\ == 0 \ OR\ N\ MOD\ (I+2)\ == 0 \ \ THEN}$\\ \hspace*{4cm}${\tt 0 \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt ELSE;}$\\ \hspace*{4cm}${\tt I+6 \ STO \triangleright \ I;}$\\ \hspace*{3.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{3cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{3cm}${\tt P}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ PREM?}$\\ Puis par exemple {\tt PREM?(45789)} pour l'exécuter.\\ \section{Méthode probabiliste de Mr Rabin}\label{sec:rabin} Si N est premier alors tous les nombres K strictement inf\'erieurs \`a N sont premiers avec N, donc d'apr\`es le petit th\'eor\`eme de Fermat on a : $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ Si N n'est pas premier, les entiers K verifiant: $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ sont tr\`es peu nombreux.\\ Plus pr\'ecisement on peut montrer que si $ N>4 $, la probabilit\'e de tomber sur un tel nombre K est inf\'erieure \`a 0.25.\\ Un nombre N vérifiant $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de K est un nombre pseudo-premier. La m\'ethode probabiliste de Rabin consiste \`a tirer au hasard un nombre K ($1< K < N $) et à calculer : $ K^{N-1} \ (\bmod\ N)$ Si $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ on refait un autre tirage et si $ K^{N-1} \neq 1 \ (\bmod\ N)$ on est s\^ur que N n'est pas premier. Si on obtient $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de K on peut conclure que N est premier avec une probabilit\'e d'erreur tr\`es faible inf\'erieure \`a $0.25^{20}$ soit de l'ordre de $10^{-12}$. Bien s\^ur cette m\'ethode est employée pour savoir si de grands nombres sont pseudo-premiers. \subsection{Traduction Algorithmique} On suppose que : Hasard(N) donne un nombre au hasard entre 0 et N-1. Le calcul de : $ K^{N-1} \ mod\ N$ se fait gr\^ace \`a l'algorithme de la puissance rapide (cf page \pageref{sec:puimod}). On notera : puismod(K, P, N) la fonction qui calcule $ K^P \ mod\ N$ \begin{verbatim} Fonction estprem(N) local K, I, P 1->I 1->P Tant que P = 1 et I < 20 faire hasard(N-2)+2->K puismod(K, N-1, N)->P I+1->I ftantque Si P =1 alors resultat VRAI sinon resultat FAUX fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP49G mode RPN} %%HP: T(3)A(R)F(.); On suppose que l'on a ecrit la fonction PUIMOD qui prend sur la pile trois arguments A, K, N et qui renvoie $A^K mod \ N$.\\ ${\tt \ll\ 1\ 0\ 1\ \rightarrow\ N\ I\ K\ P}$\\ ${\tt \ \ \ll\ 0\ RDZ}$\\ \hspace*{0.5cm}{\tt WHILE P 1 == 20 I > AND REPEAT\\ \hspace*{1cm} 1 'I' STO+\\ \hspace*{1cm}RAND N 2 - * FLOOR 2 + 'K' STO\\ \hspace*{1cm}K N 1 - N PUIMOD 'P' STO\\ \hspace*{0.5cm}END \\ \hspace*{0.5cm}IF P 1 == THEN\\ \hspace*{1cm} 1\\ \hspace*{0.5cm} ELSE\\ \hspace*{1cm} 0\\ \hspace*{0.5cm}END}\\ ${\tt \ \ \gg}$\\ ${\tt \gg}$ \subsection{Traduction HP49G mode Algébrique} \noindent ${\tt \ll \ \rightarrow\ N \ }$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \ll 1 \ \rightarrow\ I}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \ll 0 \ \rightarrow\ K}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \ll 1 \ \rightarrow\ P}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \ll RDZ(0);}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt WHILE \ P == 0 \ AND \ I<20 \ REPEAT}$\\ \hspace*{3cm}${\tt 1+I \ STO \triangleright \ I;}$\\ \hspace*{3cm}${\tt FLOOR((N-2)*RAND)+2 \ STO \triangleright \ K;}$\\ \hspace*{3cm}${\tt PUIMOD(K,N-1,N) \ STO \triangleright \ P;}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt IF \ P == 1\ THEN}$\\ \hspace*{3cm}${\tt 1}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt ELSE}$\\ \hspace*{3cm}${\tt 0}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt END;}$\\ \hspace*{2.5cm}${\tt P}$\\ \hspace*{2cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1.5cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{1cm}${\tt \gg}$\\ \hspace*{0.5cm}${\tt \gg}$\\ ${\tt \gg \ STO \triangleright \ RABIN}$\\ Puis par exemple, {\tt RABIN(45313)} pour l'exécuter.\\ Remarque : \\ On peut aussi utiliser la fonction de calcul formel {\tt POWMOD} et on écrit alors :\\ En mode {\tt RPN} :\\ {\tt N MODSTO\\ K N 1 - POWMOD 'P' STO}\\ à la place de :\\ {\tt K N 1 - N PUIMOD 'P' STO}\\ En mode {\tt Algèbrique} :\\ {\tt MODSTO(N);\\ POWMOD(K,N-1) STO$\triangleright$ P}\\ à la place de :\\ {\tt PUIMOD(K,N-1,N) STO$\triangleright$ P}\\ \newpage \printindex \newpage \tableofcontents \end{document}